Drapieżnik i Ofiara: Wariacje Lotki-Volterry

Dwa sprzężone równania, jedna oscylacja

Równania Lotka-Volterra (Alfred Lotka, 1925; Vito Volterra, 1926, odkryte niezależnie) stanowią najprostszy matematyczny model interakcji między gatunkiem drapieżnika a ofiary poprzez konsumpcję, bez innych czynników ograniczających:

dPrey/dt = a*Prey - b*Prey*Predator dPredator/dt = c*Prey*Predator - d*Predator

gdzie: a = współczynnik wzrostu populacji ofiary b = współczynnik drapieżnictwa c = wzrost populacji drapieżnika na zjedzone osobniki d = współczynnik śmierci drapieżnika Bez drapieżników, populacja ofiar rośnie wykładniczo (a*Prey); bez ofiar, populacja drapieżników wymiera wykładniczo (-d*Predator). Terminy sprzęgające b*Prey*Predator i c*Prey*Predator modelują spotkania między obiema populacjami – im więcej spotkań, tym większe predaciowanie i wzrost populacji drapieżnika, co odpowiada tej samej założeniu o reakcji masowej używanej do ustalania szybkości reakcji chemicznych.

dPrey/dt     = a*Prey - b*Prey*Predator
dPredator/dt = c*Prey*Predator - d*Predator

a = prey growth rate         b = predation rate
c = predator growth per prey eaten     d = predator death rate

Dlaczego populacje gonią za sobą po kole

Rozwiąż równania i, oddalając się od trywialnego stanu równowagi zerowej, obie populacje śledzą zamknięty, powtarzający się cykl zamiast ustalić się w punkcie ustalonym: ofiary rosną, a drapieżniki są rzadkie, co prowadzi do obfitości ofiar, która pozwala drapieżnikom rosnąć, a następnie obfitość drapieżników powoduje upadek populacji ofiar, a następnie niedobór ofiar powoduje upadek populacji drapieżników – z powrotem do początku. Narysowane w czasie, krzywe ofiar i drapieżników oscylują obie z tą samą częstotliwością, ale szczyt drapieżników wyraźnie opóźnia się za krzywą ofiar, ponieważ drapieżniki rosną tylko wtedy, gdy ofiary są już obfite.

Narysowane zamiast tego jako ofiary w stosunku do drapieżników na płaszczyźnie faz (zamiast każdego w stosunku do czasu), system śledzi zamkniętą pętlę wokół pojedynczego punktu równowagi, gdzie dPrey/dt = dPredator/dt = 0 – ośrodek, w języku systemów dynamicznych, co oznacza, że ​​bliskie trajektorie nie spiralują do niego ani z niego, tylko krążą wokół niego z ustaloną amplitudą całkowicie wyznaczoną przez początkowe warunki. Jest to delikatna, niestabilna strukturalnie właściwość: podstawowy model Lotka-Volterra nie ma tłumienia, więc w przeciwieństwie do prawie każdego innego sprzężonego oscylatora w fizyce lub inżynierii, jego cykle nie kurczą się z czasem w kierunku równowagi.

Od dwóch liczb do setek cząstek

Dwie równania różniczkowe opisują całkowite populacje bezpośrednio, zakładając, że każdy osobnik z każdego gatunku natychmiast wchodzi w interakcję z każdym osobnikiem z innego gatunku – mieszaną, przestrzennie jednolitym populacją. Symulacja na tej stronie zamiast tego nadaje każdej ofiarnie i drapieżnikowi indywidualną pozycję, prędkość i proste lokalne zasady: ofiary wędrują i rozmnażają się z pewnym tempem, drapieżniki polują na pobliskich ofiar i rozmnażają się, gdy łapią jedną, a obie umierają (z powodu starzenia się ofiar lub głodu dla drapieżników, które nie łapią niczego zbyt długo). Nigdzie w kodzie nie rozwiązuje się globalnego równania – ta sama oscylacja boom-and-bust, którą otrzymalibyśmy z równań różniczkowych, wyłania się wyłącznie z tysięcy lokalnych interakcji na poziomie cząstek oraz możliwość faktycznego zobaczenia struktury przestrzennej, której model różniczkowy w ogóle nie ujawnia: ofiary zgrupowują się i są polowane lokalnie, drapieżniki koncentrują się tymczasowo tam, gdzie jest gęstość ofiar, a puste obszary odzyskują, gdy akcja przesuwa się w inne miejsce.

Dlaczego rzeczywiste ekosystemy nie oscylują w nieskończoność

Czysty model jest słynnie kruchy: każdy dodany realizm – ograniczająca pojemność nasycającą liczbę ofiar, które może wspierać środowisko, nawet bez drapieżników, saturujący (II typu) mechanizm reakcji, w którym skuteczność zabijania każdego drapieżnika zależy od gęstości populacji zdobyczy, albo szum demograficzny związany z małymi rozmiarami populacji – zwykle tłumi oscylacje w kierunku stabilnego równowagi lub, w innych regimach parametrów, destabilizuje je do wyginięcia, zamiast zachowywać neutralne, nienasycone cykle idealnych równań. System Lotki-Volterry jest więc najlepiej rozumiany jako minimalny, celowo uproszczony punkt wyjścia, który pokazuje, dlaczego systemy drapieżnik-zdobycz oscylują, a nie jako ilościowo dokładny model jakiegokolwiek konkretnego ekosystemu rzeczywistego.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Prey-Predator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.