Малий кут vs Реальний Нелінійний Коливання Довжини Лана

Реальна формула та наближення, яке всі запам’ятовують

Простий підвішений маятник – точка маси на безмасовій базі з довжиною L – підкоряється одній формулі від моменту і другому закону Ньютона для обертання:

θ'' = -(g/L) · sin(θ) ← справжня, нелінійна формула для малих θ, sin(θ) ≈ θ, отже: θ'' ≈ -(g/L) · θ ← гармонійне простого руху, яке можна розв’язати точно Т = 2π√(L/g) ← знаменита формула, яка є справедливою лише в цьому межі Це припущення, sinθ ≈ θ, робить нерозв’язну нелінійну формулу розв’язною чистою лінійною. Це чудове наближення для малих коливань – і правдиво неправильне для великих.

θ'' = -(g/L) · sin(θ)      ← the real, nonlinear equation

for small θ, sin(θ) ≈ θ, so:

θ'' ≈ -(g/L) · θ           ← simple harmonic motion, solvable exactly
T   = 2π√(L/g)             ← the famous formula, valid only in this limit

Чому немає замкненого аналітичного рішення

Функція sin(θ) є нелінійною залежною від θ, і ця нелінійність руйнує звичайний алгебраїчний підхід. Точний період реального підвісу може бути записаний, але лише через повний еліптичний інтеграл першого роду, K — спеціальну функцію, яка сама по собі не має елементарного замкненого вигляду:

T(θ₀) = 4 √(L/g) · K( sin(θ₀/2))

θ₀ → 0 ⇒ T → 2π√(L/g) (формула для малих кутів, відновлена точно)

θ₀ → 180° ⇒ T → ∞ (підвіс, збалансований у вертикальному положенні, ніколи не падає повністю)

Формула для малих кутів є точним межим θ₀ → 0 справжньої відповіді — не інша, конкуруюча формула, а поперечний член серії розширення K. Кожен додатковий член цієї серії є корекцією, яка зростає з амплітудою.

T(θ₀) = 4 √(L/g) · K( sin(θ₀/2) )

θ₀ → 0     ⇒  T → 2π√(L/g)      (the small-angle formula, recovered exactly)
θ₀ → 180°  ⇒  T → ∞             (a pendulum balanced upright never quite falls)

Как сильно период фактически увеличивается

Расширяя K в степенях амплитуды, получается ряд коррекции для периода:

T(θ₀) ≈ T₀ · [ 1 + (1/16)θ₀² + (11/3072)θ₀⁴ + ... ] (θ₀ в радианах) θ₀ = 10° → период ≈ 0,19% длиннее чем T₀ θ₀ = 30° → период ≈ 1,7% длиннее чем T₀ θ₀ = 90° → период ≈ 18% длиннее чем T₀ Реальные маятники качаются медленнее, чем предсказывает учебная формула, и разрыв быстро увеличивается, когда вы превышаете примерно 20-30 градусов — маятниковые часы, предназначенные для небольших колебаний, заметно потеряют время, если их резко толкнуть.

T(θ₀) ≈ T₀ · [ 1 + (1/16)θ₀² + (11/3072)θ₀⁴ + ... ]     (θ₀ in radians)

θ₀ = 10°   →  period ≈ 0.19% longer than T₀
θ₀ = 30°   →  period ≈ 1.7%  longer than T₀
θ₀ = 90°   →  period ≈ 18%   longer than T₀

Розв’язування чисельно: RK4

Замість оцінки еліптичних інтегралів, практичний шлях — і той, що використовується в симуляції на цьому сайті — полягає у безпосередньому інтегруванні реальної задачі за допомогою четвертого порядку Runge-Kutta кроку. Розділення другої порядку ОДУ на дві закорельовані першопорядкові задачі (кут θ та кутова швидкість ω) і перехід вперед:

state = [θ, ω] f(state) = [ω, -(g/L) * sin(θ)] k1 = f(state) k2 = f(state + h/2 * k1) k3 = f(state + h/2 * k2) k4 = f(state + h * k3) state += h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) Четверта порядкова точність RK4 робить чисельну періодичність збігатися до справжньої еліптичної відповіді за допомогою інтеграла точно всередині плаваючої коми на будь-якому розумному кроці, що пояснює, чому симуляція може показувати відхилення малого кута від реального коливання, коли амплітуда зростає — два підвіси, випущені разом, один дотримується лінійного наближення, а інший дотримується фізики.

state = [θ, ω]
f(state) = [ω, -(g/L) * sin(θ)]

k1 = f(state)
k2 = f(state + h/2 * k1)
k3 = f(state + h/2 * k2)
k4 = f(state + h   * k3)
state += h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Simple Pendulum і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.