Simple Harmonic Motion: A Misleading Ideal

Rzeczywiste równanie i przybliżenie, które wszyscy pamiętają

Prosty wahacz – punkt masy na bezmasowym trzpieniu o długości L – poddaje się jednemu równaniu z momentu obrotu i drugiego prawa Newtona ruchu postępowego:

θ'' = -(g/L) · sin(θ) ← rzeczywiste, nieliniowe równanie przy małych θ, sin(θ) ≈ θ, więc: θ'' ≈ -(g/L) · θ ← ruchem harmonicznym prostym, rozstrzygalnym dokładnie T = 2π√(L/g) ← słynna formuła, ważna tylko w tym przypadku Ta substancja, sinθ ≈ θ, to właśnie przekształca nieliniowe równanie nierozwiązywalne w czyste liniowe, które wszyscy najpierw uczą. Jest to doskonałe przybliżenie dla małych amplitud – i szczerze mówiąc, błędne dla dużych.

θ'' = -(g/L) · sin(θ)      ← the real, nonlinear equation

for small θ, sin(θ) ≈ θ, so:

θ'' ≈ -(g/L) · θ           ← simple harmonic motion, solvable exactly
T   = 2π√(L/g)             ← the famous formula, valid only in this limit

Dlaczego nie ma rozwiązania w postaci zamkniętej

Funkcja sin(θ) jest funkcją nieliniową względem θ, a to właśnie ta niemonialność łamie zwykłą algebrę. Dokładny okres rzeczywistego wahacza można zapisać, ale tylko za pomocą całkowitego całego pierwiastka pierwszego rodzaju, K – specjalnej funkcji, która sama w sobie nie ma elementarnego rozwiązania w postaci zamkniętej:

T(θ₀) = 4 √(L/g) · K( sin(θ₀/2)) θ₀ → 0 ⇒ T → 2π√(L/g) (wzór przybliżony dla małych kątów, odzyskiwany dokładnie) θ₀ → 180° ⇒ T → ∞ (wahacz wyważony pionowo nigdy nie spadnie)) Wzór przybliżony dla małych kątów jest dokładnie granicą θ₀ → 0 prawdziwej odpowiedzi – nie jest to inna, konkurencyjna formuła, ale człon kierunkowy rozwinięcia w szereg funkcji K. Każda dodatkowa wartość tego szeregu stanowi poprawkę, która rośnie wraz z amplitudą.

T(θ₀) = 4 √(L/g) · K( sin(θ₀/2) )

θ₀ → 0     ⇒  T → 2π√(L/g)      (the small-angle formula, recovered exactly)
θ₀ → 180°  ⇒  T → ∞             (a pendulum balanced upright never quite falls)

Jak bardzo okres faktycznie rośnie

Rozszerzanie K potęgami w zależności od amplitudy daje szereg korekcyjny do pierwotnego okresu:

T(θ₀) ≈ T₀ · [ 1 + (1/16)θ₀² + (11/3072)θ₀⁴ + ... ] (θ₀ w radianach) θ₀ = 10° → okres ≈ 0,19% dłuższy niż T₀ θ₀ = 30° → okres ≈ 1,7% dłuższy niż T₀ θ₀ = 90° → okres ≈ 18% dłuższy niż T₀ Rzeczywiste wahadła oscylują wolniej niż przewiduje wzór z podręcznika, a różnica rośnie szybko po przekroczeniu około 20-30 stopni – zegar wiszący zbudowany dla małych ruchów straci widocznie czas, jeśli ktoś go mocno popchnie.

T(θ₀) ≈ T₀ · [ 1 + (1/16)θ₀² + (11/3072)θ₀⁴ + ... ]     (θ₀ in radians)

θ₀ = 10°   →  period ≈ 0.19% longer than T₀
θ₀ = 30°   →  period ≈ 1.7%  longer than T₀
θ₀ = 90°   →  period ≈ 18%   longer than T₀

Rozwiązanie numeryczne: RK4

Zamiast obliczać całki eliptyczne, praktyczny sposób – i ten używany w symulacji na tej stronie – polega na bezpośrednim rozwiązywaniu równania rzeczywistego za pomocą kroku czwartego rzędu Runge-Kutta. Podział drugiego rzędu równania różnicowego (kąt θ i prędkość kątowa ω) na dwie skojarzone równoległe pierwsze rzędy oraz kroki w przód:

state = [θ, ω] f(state) = [ω, -(g/L) * sin(θ)] k1 = f(state) k2 = f(state + h/2 * k1) k3 = f(state + h/2 * k2) k4 = f(state + h * k3) state += h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) Dokładność czwartego rzędu RK4 sprawia, że numeryczna okresowość zbiega się do prawdziwej odpowiedzi z całki eliptycznej z dużą dokładnością, nawet przy rozsądnym kroku, dlatego symulacja może pokazywać wizualne oddzielenie prognozy małego kąta od rzeczywistego ruchu, gdy amplituda rośnie – dwa wahacze upuszczone razem, jeden przestrzegający liniowej aproksymacji, a drugi poddający się prawom fizyki.

state = [θ, ω]
f(state) = [ω, -(g/L) * sin(θ)]

k1 = f(state)
k2 = f(state + h/2 * k1)
k3 = f(state + h/2 * k2)
k4 = f(state + h   * k3)
state += h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Simple Pendulum i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.