3D Сферичний підвішений маятник: Рожети, конуси та фокусове обертання

Зваб, що вільно коливається у двох напрямках

Простий підвішений маятник коливається в одній площині. Сферичний маятник усуває це обмеження: намисло відвішаний на жорсткій павутині або нерозтяжним мотузкою фіксної довжини та вільно рухається будь-де на поверхні сфери, що центрується навколо осі обертання. У нього є два незалежні кутові ступені свободи — кут полярності θ, який вимірює, як далеко він відхилився від вертикалі, і кут азимуту φ, який вимірює його обертання навколо вертикальної осі, замість одного кута маятника плоскої форми.

Дві збережені величини формують кожну орбіту

Два фактори зберігаються, коли кулька розмахується, і разом вони пояснюють все, що робить траєкторія. Зберігається загальна механічна енергія, оскільки сила тяжіння є єдиною силою, яка виконує роботу, і це консервативна сила. Також зберігається круговий імпульс навколо вертикальної осі, оскільки момент сили тяжіння відносно цієї осі дорівнює нулю — вага кулі завжди спрямована прямо вниз, через вісь, тому вона не може змушувати кульу обертатися навколо неї. Цей другий закон збереження є ключовою відмінністю від плоскої траєкторії: будь-який бічний поштовх надає круговий імпульс навколо вертикальної осі, і якщо кульу не запустити з абсолютно нульовим значенням цього імпульсу, вона ніколи більше не зможе пройти через площину, в якій вона почала.

Рожети, та особливий випадок ідеального конуса

З використанням звичайних початкових умов тіло прискорювача простежує відкритий, обертальний шлях, який заповнює кільцеву смугу на сфері, коливається між мінімальним і максимальним полярним кутом, одночасно збільшуючи своє орієнтування навколо осі — рожети. З точки зору безпосередньо зверху, горизонтальне проекціювання тіла прискорювача виглядає як квітка з такою ж кількістю пелюсток, які повторюються впродовж обох періодів: періоду коливань і періоду обертання, вони змінюють співвідношення між собою. Існує особлива умова запуску, коли θ ніколи не змінюється: запускайте тіло повністю горизонтально з точною швидкістю, яка робить тяжіння вниз рівною центripedalній силі, необхідній для однорідного обертання на цьому куті. Тоді тіло простежує ідеальний горизонтальний круг на постійній висоті, а вся система є конюшним піром — стійка робить конус, а період залежить лише від половини кута конуса та довжини підвісу, не залежно від маси.

conical pendulum period:  T = 2π √( L cosθ / g )
   L = rod length, θ = angle from vertical, g = gravitational acceleration
   (independent of mass — the same cancellation as in a simple pendulum's period)

Інтеграція: чому RK4

Рівняння руху для θ та φ є спареними нелінійними другим порядком диференціальними рівняннями – немає аналітичного розв’язку для загальної рози, лише для невеликої кількості спеціальних випадків, таких як конусний важіль. У цій симуляції вони інтегруються чисельно з використанням четвертого порядку Runge–Kutta, віднімаючи похідну чотири рази на крок і змішуючи зразки, що забезпечує високу точність на крок для системи, яка не запускається протягом мільйонів кроків, тому брак RK4 точного збереження енергії під час дуже тривалих пробігів не є основним обмеженням, яке б було для симуляції орбіт планети, наприклад.

Режим Фоко: когда ось сама вращается

Переключите симуляцию в режим Фоко и ось больше не является инерциальной — это точка на вращающейся Земле. В рамках системы отсчета вращающейся оси появляется дополнительная вымышленная сила – сила Кориолиса, которая очень медленно прецессирует плоскость колебаний маятника, даже если маятник запущен как чисто плоская осцилляция. Скорость прецессии равна Ω·sin(широта), где Ω - скорость вращения Земли: на полюсах плоскость колебаний вращается один раз в sidereal день (sin 90° = 1), на экваторе она не прецессирует вообще (sin 0° = 0), а на средних широтах она прецессирует со скоростью, промежуточной между этими двумя значениями, которую Леон Фоко впервые использовал в 1851 году, чтобы дать общественности непосредственное механическое доказательство того, что сама Земля вращается, не глядя на небо.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте 3D Spherical Pendulum і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.