Нормальний розподіл: Анатомія кривої дзвіночка

Формула, що стоїть за дзвіночком

Нормальний (Гаусів) розподіл повністю описується двома числами: середнє значення μ, яке визначає, де розташована центральна частина кривої, та стандартне відхилення σ, яке визначає її розповсюдження. Його функція щільності ймовірності має вигляд формули нижче — зауважте, що крива ніколи не дорівнює нулю, а лише надзвичайно швидко спадає відносно μ, завдяки квадратному члену всередині експоненти.

f(x) = 1 / (σ√(2π))  ·  e^( −(x−μ)² / (2σ²) )
   μ = mean (location)      σ = standard deviation (spread)

Нормалізація: кожна гаусова функція має однакову форму

Будь-яку нормальну функцію можна перевести в стандартну нормальну, з μ = 0 і σ = 1, за допомогою заміни z = (x − μ) / σ. Ця єдина трансформація пояснює, чому таблиці статистики містять лише одну криву — кожна гаусова функція, незалежно від її середнього значення чи розбросу, насправді має однакову форму, просто розтягнуту та зміщену, а z вказує на кількість стандартних відхилень, на які знаходиться значення від свого власного середнього значення.

Чому CDF не має аналітичного розв’язку

Кумулятивна функція розподілу — ймовірність потрапляння або нижче певного значення x — є інтегралом від кривої роуму, і цей інтеграл не може бути записаний за допомогою звичайних елементарних функцій. Замість цього він виражений через помилку функцію, erf, яка сама по собі визначається як інтеграл і обчислюється чисельно: Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]. Кожна таблиця статистики, калькулятор z-score та бібліотека програмного забезпечення базуються під собою на попередньо обчисленому або чисельно інтегрованому варіанті цієї функції.

Правило 68–95–99.7

Оскільки форма фіксується після стандартизації, фіксовані відсотки розподілу завжди знаходяться в межах певних чисел стандартних відхилень від середнього: приблизно 68% всередині ±1σ, приблизно 95% всередині ±2σ та приблизно 99.7% всередині ±3σ. Це емпіричне правило пояснює, чому результат, що перевищує вдвічі або втричі стандартне відхилення від середнього, вважається значно незвичайним у широкому спектрі галузей – від контролю якості до експериментальної фізики — це прямий і запам'ятовуваний наслідок експоненційного спаду PDF.

Чому саме ця форма з'являється скрізь

Два окремі математичні пояснення збігаються в одну криву. Центральна теорема обмеженості показує, що середні значення багатьох незалежних випадкових величин схиляються до гаусової форми, незалежно від форми початкових даних – саме тому так багато природно агрегованих вимірювань (висоти, помилки вимірювання, оцінки екзаменів) приблизно відповідають нормальному розподілу. Окремо, серед усіх ймовірнісних розподілів із заданим середнім і дисперсією, гауссовий є тим, що має максимальну ентропію – тобто найменше додаткової структури чи припущень, закладених у нього, крім простого встановлення середнього значення та розповсюдження – це міцний теоретичний аргумент на користь очікування його, коли відомо лише середнє значення та дисперсія процесу.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Normal Distribution і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.