N-тіло тяжіння: інтеграція RK4, подвійні зірки та орбітальна резонансність

Кожна тілесність тягне за собою кожну іншу

Закон всесвітнього тяжіння Ньютона, F = G·m₁m₂/r², точно описує силу притягання між будь-якими двома масами. Проблеми виникають, коли додається третє тіло: тепер кожне об'єкт одночасно притягується всіма іншими, і ці сили змінюються по мірі руху тіл. Дві тілесності окремо можуть бути розв’язані точно, виробляючи акуратні еліпси – але як тільки ви досягаєте трьох або більше, система стає відомим тритілим проблемою, для якої немає загального аналітичного розв’язку. N-тілова симуляція повністю обходить це: замість того, щоб розв'язувати рівняння алгебраїчно, вона обчислює кожну парну гравітаційну силу в певний момент часу та робить крок вперед у положенні та швидкості кожного тіла на невеликий інтервал часу, повторюючи тисячі разів на секунду.

RK4: крок за кроком, вперед з гравітацією, без втрати стабільності

Найпростіший спосіб просувати симуляцію – це використання інтегрування Ейлера: обчислюйте прискорення зараз, застосовуйте його протягом одного часового кроку, рухайтесь далі. Це швидко, але ненадійно – помилки накопичуються з кожним кроком, і за багато орбітальних періодів планета, що інтегрована простим способом, помітно зіллзе всередину або відлетить назовні, хоча насправді її нічим не тягне. Виправлення, яке використовується тут – це четвертий порядок Runge-Kutta (RK4), який зразкує прискорення в чотирьох точках всередині кожного часового кроку – на початку, в двох середніх оцінках і в кінці, і змішує їх у єдиний, значно більш точний крок:

k1 = f(t, y) k2 = f(t + dt/2, y + dt/2·k1) k3 = f(t + dt/2, y + dt/2·k2) k4 = f(t + dt, y + dt·k3) y(t+dt) = y(t) + (dt/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) RK4 зменшує похибку на крок у п'яту ступінь відносно часового кроку, а не у другу, як при простому інтегруванні Ейлера – тому він підтримує орбіти стабільними протягом тисяч обертів з часовим кроком, достатнім для плавного запуску в браузері. Також додається невеликий коефіцієнт пом’якшення у знаменнику розрахунку сили, щоб запобігти вибуху сили (та часовому кроку), коли дві тіла зустрічаються надзвичайно близько одна до одної.

k1 = f(t,        y)
k2 = f(t + dt/2,  y + dt/2·k1)
k3 = f(t + dt/2,  y + dt/2·k2)
k4 = f(t + dt,    y + dt·k3)
y(t+dt) = y(t) + (dt/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Двоичні зірки та еліптична орбіта

Дві приблизно рівномірні за масою зірки не обертаються навколо одної – обидві обертаються навколо їх спільного центру мас, який називається барицентром, прокладаючи відображені еліптичні шляхи. Набагато цікавіше – восьмикутна тритілкова орбіта: три рівні за масою тіла ганяються одна за одною вздовж одної лемнісальної траєкторії, виявлена ​​чисельно у 1993 році та лише пізніше доведена існуванням строго. Це періодичне стабільне рішення проблеми з трьох тіл – рідкісна ділянка порядку всередині системи, яка в цілому хаотична, і хороший тест на точність збереження енергії інтегратором з часом.

Орбітальна резонансність: коли періоди синхронізуються

Орбітальна резонансність виникає, коли періоди обертання двох тіл утворюють просту цілу пропорцію – 2:1, 3:2, 1:1 – що призводить до того, що їх найближчі підходи відбуваються в одному й тому ж відносному положенні кожні кілька орбітальних переходів, а не випадково змінюються. Резонанс може стабілізувати систему: троянські астероїди Юпітера утримуються на 60° попереду та позаду планети в резонансі 1:1 з тією ж причиною, що й те, як куля залишається у долині. Він також може дестабілізувати систему: повторні потяги до одного й того самого орбітального фазу викарбували дірки Кірка в астероїдному поясі на резонансах 3:1 та 2:1 з Юпітером, поступово збільшуючи ексцентричність до тих пір, поки астероїди не були виштовхнуті. Числення моделі зігрань при зіткненні галактики або багатопланетної системи часто є єдиним способом побачити, які резонанси стабільні, а які – потенційні «часівки».

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.