N-Ciała Grawitacyjne: Integracja RK4, Dwie Gwiazdy i Rezonans Orbitałowy

Każde ciało oddziałuje na każde inne ciaście

Prawo powszechnego ciążenia Newtona, F = G·m₁m₂/r², opisuje siłę przyciągania pomiędzy dowolnymi dwiema masami z dokładnością do wartości. Problem pojawia się, gdy dodamy trzecie ciało: każde z nich jest jednocześnie przyciągane przez wszystkie inne, a te siły zmieniają się w miarę przemieszczania się ciał. Dwa ciała samotnie mogą być rozwiązane dokładnie, dając czyste elipsy – ale zaraz po trzech lub więcej, układ staje się słynnym problemem trójciałowym, który nie posiada ogólnego rozwiązania analitycznego. Symulacja N-ciałowa o tym w ogóle nie dotyka: zamiast rozwiązywać równania algebraicznie, oblicza każdą parę sił grawitacyjnych w każdym momencie i przesuwa pozycję i prędkość każdego ciała o mały krok czasowy, powtarzając to tysiące razy na sekundę.

RK4: kroki w przód z symulacją bez rozpadu

Najprostszym sposobem na postępowanie w symulacji jest integracja Eulera: oblicz przyspieszenie teraz, zastosuj je przez jeden krok czasowy, przejdź dalej. Jest to szybkie, ale zawodne – błędy kumulują się z każdym krokiem i po wielu okresach orbitalnych naiwnie zintegrowana planeta widocznie spiralizuje w głąb lub ucieka na zewnątrz, mimo że żadna rzeczywista siła nie ciągnie jej w ten sposób. Rozwiązaniem używanym tutaj jest integracja czwartego rzędu Runge-Kutta (RK4), która próbuje przyspieszenia w czterech punktach wewnątrz każdego kroku czasowego – na początku, dwóch szacunkowych środkach i na końcu — i łączy je w jeden, znacznie bardziej dokładny krok:

k1 = f(t, y) k2 = f(t + dt/2, y + dt/2·k1) k3 = f(t + dt/2, y + dt/2·k2) k4 = f(t + dt, y + dt·k3) y(t+dt) = y(t) + (dt/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) RK4 zmniejsza błąd na krok o piąty stopień względem kroku czasowego, w porównaniu z drugim stopniem dla prostej integracji Eulera – więc utrzymuje orbity stabilne przez tysiące obrotów przy kroku czasowym wystarczająco dużym, aby płynnie działać w przeglądarce. Dodano również mały współczynnik wygładzający do mianownika obliczeń siły, aby zapobiec wzrostowi siły (i kroku czasowego) gdy dwa ciała zbliżają się bardzo blisko siebie.

k1 = f(t,        y)
k2 = f(t + dt/2,  y + dt/2·k1)
k3 = f(t + dt/2,  y + dt/2·k2)
k4 = f(t + dt,    y + dt·k3)
y(t+dt) = y(t) + (dt/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Podwójne gwiazdy i elipsa figuralna

Dwie gwiazdy o przybliżnie równych masach nie krążą po sobie – obie obracają się wokół ich wspólnej środka masy, zwanego barycentrum, rysując odbite elipty. Jeszcze bardziej egzotyczny jest orbitę figuralną ośmiociałowa – trzy gwiazdy o równej masie ścigają się wzajemnie po pojedynczej lemniscacie, odkrytej numerycznie w 1993 roku i dopiero później udowodnionej formalnie. Jest to okresowy, stabilne rozwiązanie problemu trzech ciał – rzadkie zakamarki porządku wewnątrz systemu chaotycznego ogólnie, oraz dobry test wytrzymałości na to, jak dobrze zbieżny zachowuje energię w czasie.

Rezonans orbitalny: kiedy okresy się zsynchronizują

Rezonans orbitalny występuje, gdy okresy obiegnu tworzą prostą liczbę całkowitą proporcję – 2:1, 3:2, 1:1 – co oznacza, że ich najbliższe punkty zbliżania się zachowują w tej samej względnej pozycji co kilka obrotów zamiast losowo przesuwać się. Rezonans może stabilizować system: trojańskie asteroidy Jowisza zajmują zablokowane położenie o 60° przed i za planetą w rezonansie 1:1 z tego samego powodu, jak kulka pozostaje w dolinie. Może również destabilizować system: powtarzające się pociągnięcia w tej samej fazie orbitalnej wyrzeźbiły luki Kirkwoda w pasie asteroid przy resonansach 3:1 i 2:1 z Jowiszem, stopniowo zwiększając mimośrodowość aż do wyrzucenia asteroid. Symulowanie kolizji galaktyk lub systemów wieloplanetowych numerycznie często jest jedynym sposobem na zobaczenie, które rezonanse są stabilne, a które są bombami opóźnionymi.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.