Орбітальна механіка: Кеплер, Верлет та Лагрангові точки

Закони Кеплера та де вони перестають бути достатніми

Для однієї планети, що обертається навколо однієї, значно більшої зірки, три закони Кеплера точно описують рух: орбіти є еліпсами з зіркою в одному фокусі; лінія від зірки до планети розмахує рівні площі за рівні проміжки часу (тобто планета рухається швидше біля перигелію, повільніше біля афелія); і квадрат періоду обертання пропорційний кубу півбольшого осі. Ця двотісна задача має тоді й аналітичне розв’язання — ви можете обчислити положення планети в будь-який майбутній час безпосередньо з шести орбітальних елементів, не потребуючи моделювання.

У момент, коли в систему входить третя тіла — друга планета, місяць, космічний корабель — система зазвичай не має аналітичного розв’язання. Це відома задача трьох тіл: Пойя показав у 1890-х роках, що її траєкторії можуть бути хаотичними і не виражаються в загальному вигляді як кінцева комбінація елементарних функцій. Практична відповідь — чисельне інтегрування: просувайте положення та швидкість кожної тіла на невеликий проміжок часу, використовуючи гравітаційну силу, яку кожне тіло зараз здійснює на кожне інше, і повторюйте.

Чому інтегратор повинен бути Velocity Verlet

У цій симуляції кожен сценарій просувається за допомогою Velocity Verlet, а не більш складним методом вищого порядку, оскільки орбітальна механіка піклується про властивість, яку більшість інтеграторів ігнорують: довгострокова енергетична поведінка. Verlet є симплектовим — він зберігає тінь-енергію, близьку до справжньої енергії, назавжди, тому зв’язаний орбіт залишається зв’язаним, а періодична орбіта залишається періодичною протягом мільйонів кроків. Вищий порядок, але не симплектовий метод, як RK4, є більш точним за крок, але повільно і постійно втрачає енергію, тому планета, інтегрована з RK4 на достатньо тривалий час, помітно спірається або виходить із орбіти, хоча кожен окремий крок може виглядати майже точно.

x += v * h + 0.5 * aOld * h * h;
const aNew = gravityFrom(allOtherBodies, x);   // sum of GM_i / r_i^2 terms
v += 0.5 * (aOld + aNew) * h;
aOld = aNew;

Стабільні точки Лагранжа та троянські астероїди

У обмеженій трьохтілній проблемі (маса одного тіла незначна порівняно з іншими двома, наприклад, астероїд, що обертається навколо Сонця та Юпітера), існують п’ять спеціальних положень, точки Лагранжа L1–L5, де балансують сукупна гравітація двох великих тіл та оберігаючий відцентрова ефект, щоб масове тіло могло перебувати у фіксованій позиції відносно інших двох, спільно обертаючись з ними. L1–L3 лежать на лінії через обидва великі тіла і є нестабільними саドル-точками – корисні для косцелів (наприклад, сонячних спостережних станцій на L1 Сонця та Землі), які потребують частого невеликого корекційного спалювання, але не для тих, що залишаються на самоті.

L4 і L5 відрізняються: вони знаходяться на відстані 60° попереду та позаду меншого великого тіла вздовж його орбіти, утворюючи рівносторонній трикутник з двома великими масами, і для достатнього співвідношення мас між двома первинними тілами вони динамічно стабільні. Троянські астероїди Юпітера захоплені в цих точках L4 та L5 точно таким чином – десятки тисяч з них, деякі понад 100 км у діаметрі, що обертаються навколо Сонця синхронно з Юпітером без необхідності окремого інтегрування кожного як випадкового сміття.

Гравітаційні маневри: використання гравітації планет для зміни швидкості

Гравітаційний маневр (або прохід) змінює швидкість космічного апарату відносно Сонця, не витрачаючи паливо, шляхом обміну імпульсом з планетою. У власній системі координат планети зіткнення є еластичним — космічний апарат покидає зіткнення з тією ж швидкістю, що й прибув, але його напрямок змінюється під дію гіперболічної відхилення. Перетворено назад у систему координат Сонця, цей зміщення напрямку додає (або віднімає) вектор орбітальної швидкості планети до швидкості космічного апарату, що може призвести до значного зміни швидкості відносно Сонця — механізму, який лежить в основі фактичного шляху польоту практично всіх місій на околицях Сонячної системи.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Orbital Mechanics і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.