Місячна посадка: Ракета, що змагається з падаючим показником палива

Зліт – це проблема з паливом та масою, перш ніж це є проблемою пілотування

Зарядна місячна посадка не має атмосфери для гальмування — кожна секунда зниження швидкості повинна бути скасована двигуном, використовуючи паливо, яке одночасно спалюється. Центральне рівняння, що регулює всю посадку, і причина того, чому місячний модуль «Аполло» так ретельно проєктувався з урахуванням маси, є рівнянням Ціолковського ракети:

Δv = v_e · ln(m₀ / m_f) = I_sp · g · ln(m₀ / m_f) v_e = ефективна швидкість вихлопу I_sp = специфічна тяга (секунди) — величина тяги на одиницю ваги палива, що спалюється за секунду m₀ = початкова маса, m_f = кінцева (після згорання) маса g = стандартне прискорення вільного падіння, 9.81 м/с² (використовується для перетворення I_sp в одиниці швидкості) Оскільки відношення маси знаходиться всередині логарифма, кожна додаткова кілограма сухої конструкції коштує непропорційно великої кількості палива для транспортування вниз і, на етапі підйому «Аполло», назад вгору знову — тому місячний модуль був побудований таким скупо, як будь-який літак, з корпусом, який можна було б проколоти олівцем.

Δv = v_e · ln(m₀ / m_f) = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

v_e  = effective exhaust velocity
I_sp = specific impulse (seconds) — how much thrust per unit weight of propellant burned per second
m₀   = initial mass, m_f = final (post-burn) mass
g₀   = standard gravity, 9.81 m/s² (used to convert I_sp to units of velocity)

Місячна гравітація змінює всю задачу

Гравітація поверхні Місяця становить 1,62 м/с², приблизно одну шосту від земної, і через відсутність атмосфери немає аеродинамічного опору, який би допомагав сповільнювати спускаючу конструкцію так, як це робить для повторного входу на Землю. Обидва ці фактори негативно впливають на задачу для посадкового модуля: гравітація сама по собі тягне значно слабше, що є основною причиною того, чому місячний модуль Аполлона міг здійснити м’яку посадку за допомогою такого скромного двигуна, але без чогось іншого для гальмування, кожна горизонтальна та вертикальна швидкість повинна бути активно скасована тягою – немає вільного уповільнення від аеродинамічного опору, на яке можна спиратися.

Змінний тяг у етапі спуску та як насправді виникає спалах горіння

Двигатель спуска Apollo був регульований тягою (приблизно 10% до 60% від повної тяги, з фікзованою зоною глибокого газування, униклено з міркувань стабільності горіння), що мало значення, оскільки при спалюванні вибухової речовини зменшується маса, однакові налаштування тяги виробляють зростаюче уповільнення на легшому транспортному засобі — профіль спуску, який фіксує тягу протягом усього горіння. Швидкість витрати палива безпосередньо пов'язана з певною індукцією:, thrust F = ḱ·v_e = ḱ·I_sp·g₀ (ḱ = витрата палива, кг/с) acceleration a = F/m(t) − g_moon (m(t) зменшується при спалюванні палива) as m(t) падає під час горіння, фіксована F виробляє ЗРОСТАНЕ уповільнення → тягу потрібно зменшити або сформувати профіль тяги ближче до посадки Управління під час фактичного спуску Аполло було розділено на чіткі фази з цієї причини: фазу гальмування, коли спалюється більша частина горизонтальної орбітальної швидкості при постійній тязі, фазу наближення, коли транспортний засіб вирівнюється вгору та дозволяє командирову бачити місце посадки, і фінальну, повільну вертикальну фазу під точним ручним керуванням або з регулюванням тяги, що закінчується майже нульовою вертикальною та горизонтальною швидкістю при посадці.

thrust F = ḱ·v_e = ḱ·I_sp·g₀              (ḱ = propellant mass flow rate, kg/s)
acceleration a = F/m(t) − g_moon         (m(t) decreasing as propellant burns)

as m(t) falls during the burn, a fixed F produces GROWING deceleration
→ throttle must be reduced, or thrust profile carefully shaped, near touchdown

Запас палива вимірюється в секундах, а не кілограмах

Оскільки спуск здійснює ракета з фіксованим запасом палива, весь посадовий процес обмежений відліком часу до кінця горіння замість відстані — це саме тому управління місією «Аполлон» називав статус палива в секундах, що залишилися, а не відсотками, і чому справне приземлення «Аполлона-11», яке було зміщене через Нела Армстронга минувчим валуном у пошуках безпечнішої ділянки, закінчилося лише з приблизно 25 секундами палива до того, як було б обов’язковою відмова від посадки.

Ті ж самі розрахунки на основі рівняння Ціолковського, які визначають всю спускну ступню на папері за кілька місяців завчасно, також є тим самим числом, що йдеться в реальному часі під час польоту до поверхні.

Чому моделювання цього є справді складною проблемою контролю

Вірну симуляцію місячної посадки потрібно поєднувати всі ці елементи одночасно: рівняння ракет постійно зменшує масу та, відповідно, змінює прискорення для заданого тягу, гравітація Місяця, що становить одну шість земної, безперервно діє на весь час, не маючи нічого, крім тяги двигуна, що протидіює їй, і закон пропелера або керування, який повинен приводити вертикальну та горизонтальну швидкість до нуля в точно момент, коли транспортне засобу досягається поверхня — перевищувати паливний бюджет у будь-якому напрямку, і ви або падаєте з великою швидкістю, не витрачаючи пальне, або закінчитеся, все ще падаючи.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Moon Landing і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.