Орбітальні маневри: Перехід з однієї орбіти в іншу з мінімальним витратою палива

Переміщення між орбітами потребує швидкості, а не палива безпосередньо

Кожне маневрування навколо орбіти – підвищення супутника, відправка зонда на Марс, з’єднання з станцією – спрощується до одного питання обліку: скільки Δv (дельта-в), зміни швидкості, потрібно для маневру? Паливо ракет тільки має значення в тому сенсі, що воно купує Δv через рівняння Тсіолковського щодо ракет; сама проблема проєктування місії повністю існує мовою швидкостей та орбіт.

Відова рівняння: швидкість як функція відстані та форми орбіти

Для будь-якої орбіти під впливом єдиного домінуючого гравітаційного тіла, відова рівняння встановлює зв’язок між швидкістю космічного апарата в будь-якій точці та його віддаленість від центрального тіла та загальний розмір орбіти (напіввелике положення a):

v² = ґμ(2/r − 1/a) gщ – стандартний гравітаційний параметр центрального тіла; r – поточна відстань від центрального тіла; a – напіввелике положення (a < 0 для гіперболічних траєкторій виходу); Це одна рівняння є основою орбітальної механіки: якщо a = r, то v = √(ґμ/r); якщо a → ∞, то воно дає швидкість втечі v = √(2ґμ/r). Кожне маневре переміщення розраховується шляхом визначення швидкості об’єкта на його поточному орбіті та необхідної швидкості на цільовій орбіті в тій самій точці, різниця і є Δv, яку повинен забезпечити імпульс від палива.

v² = μ(2/r − 1/a)

μ = GM, standard gravitational parameter of the central body
r   = current distance from the central body
a   = semi-major axis (a < 0 for hyperbolic escape trajectories)

Перенос Гомана: самый дешевый способ перемещения между двумя круговыми орбитами

Чтобы перемещаться между двумя плоскостными круговыми орбитами с наименьшим расходом топлива, Вальтер Гохман в 1925 году показал, что оптимальный путь — это эллиптическая траектория перевода, касающаяся внутренней окружности в перигее и внешней окружности в апогее — эллипс только касается обеих окружностей, поэтому вся маневра требует всего двух импульсов, каждый из которых применяется точно в точке, где траектория перехода касается текущей орбиты (следовательно, импульс нужен только для изменения скорости, а не направления).

Нехай r1 = початковий радіус кругової орбіти, r2 = кінцевий радіус кругової орбіти a_t = (r1 + r2) / 2 середня більша піввісь еліпса переходу bурн 1 (в r1): Δv1 = ∞(μ/r1)·[∞(2r2/(r1+r2)) − 1] перехід в еліпс переходу bурн 2 (в r2): Δv2 = ∞(μ/r2)·[1 − ∞(2r1/(r1+r2))] циклічне увімкнення в r2 total Δv = Δv1 + Δv2 Підвищення орбіти супутника означає прискорення на перигеї, щоб розтягнути орбіту назовні, космічний політ наполовину навколо нової еліпса та знову прискорення на апогеї для циркуляризації; зниження орбіти перевертає знаки обох імпульсів. Перенос Гомана доводиться мінімальним імпульсом двохопераційного переходу між круговими орбітами, коли відношення радіусів нижче приблизно 11,94 — вище цього значення триімпульсний бі-еліптичний перехід може дійсно використовувати менше загального Δv, але це займає набагато більше часу.

r1 = initial circular orbit radius, r2 = final circular orbit radius
a_t = (r1 + r2) / 2                     transfer ellipse semi-major axis

burn 1 (at r1): Δv1 = √(μ/r1)·[√(2r2/(r1+r2)) − 1]     enter the transfer ellipse
burn 2 (at r2): Δv2 = √(μ/r2)·[1 − √(2r1/(r1+r2))]     circularize at r2

total Δv = Δv1 + Δv2

Часові аспекти: фазна кутова відстань та запуск

Правильний вибір траєкторії переміщення – це лише половина проблеми — для зустрічі (наприклад, зондування Марса) цільовий об’єкт повинен знаходитись у потрібне місце, коли геометрія перелітної еліпсу коскрафту прибуде туди, місяці чи роки потому. Це потребує розрахунку правильної фазної кутової відстані – кутового крому, який має мати цільовий об’єкт на момент віддалення, щоб обидва коскрафти та цільовий об’єкт досягли точки зустрічі одночасно. Саме тому міжпланетні місії запускаються лише в вузькі часові вікна, які повторюються з періодом, встановленим відносними орбітальними рухами двох тіл (синодичним періодом), а не просто коли ракета готова.

Зміна нахилу орбіти є дорогою, і тому її слід уникати

Зміна нахилу орбіти — нахилу її площини — коштує непропорційно багато зміни швидкості (Δv) порівняно зі зміною її розміру, оскільки необхідна зміна швидкості масштабується з синусом половини кута зміни нахилу при заданій швидкості: Δv_plane = 2v·sin(Δi/2). Саме тому місіонери намагаються об'єднати зміну нахилу орбіти з іншим імпульсом (виконуючи його на апогеї, де мінімальна швидкість орбітального руху v), щоб мінімізувати вартість, а не виконувати її окремо, і чому переважно використовувати стартові майданчики біля екватора для місій навколо екватора — відповідність цільовому нахилу на запуску дозволяє уникнути витрат на дорогий зміну нахилу орбіти в космосі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Orbital Maneuvers і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.