Монті Холл Паракдок: Чому перехід дверей виграє дві третини часу

Налаштування, точно

Три двері, один автомобіль, дві кози. Ви обираєте двері. Хост – який знає, де знаходиться автомобіль і ніколи не відкриває двері, що приховують його, або двері, які ви обрали – відкриває одну з інших двох дверей, завжди розкриваючи козу. Вам пропонують змінити свій вибір на двері, що залишилися закритими, або залишитися зі своїм початковим вибором. Питання, поставлене Мерлін фон савант у колонці Parade 1990 року та відоме тим, що викликало наплив математиків, які наполягали на її неправильності, полягає в наступному: чи допоможе зміна?

Це так, і значно: зміна виграє 2/3 часу, а залишення виграє лише 1/3. Інтуїція, яка заплутує людей, полягає у вважати, що дві двері, що залишилися, раптом однаково ймовірні після розкриття однієї з них – вони не є такими, оскільки дія хоста була не випадковою.

Чому ваш перший прогноз замерз на 1/3

Наразі, коли ви обираєте двері, ймовірність того, що автомобіль знаходиться за цією дверима, становить точно 1/3, а ймовірність того, що автомобіль знаходиться за однією з інших двох дверей – 2/3. Важливо зазначити, що ніщо, що робить ведучий після цього, не може змінити ймовірність, привласнену вашій початковій двері, оскільки вибір ведучим, яку двері з козлами відкрити, не дає жодних підказів щодо вашої двері – він завжди міг би відкрити двері з козлами, незалежно від того, що ви обрали. Ваша початкова двері залишається на 1/3 назавжди; решта 2/3 ймовірності, які раніше розподілялися між двома іншими дверима, повністю перепадає на ту єдину двері, яку не відкривав ведучий.

Теорія Байєса, розкрито

Для скептиків ось повний розрахунок. Уявіть, що ви вибрали двері 1 і ведучий відкриває двері 3. Нехай C1, C2, C3 будуть подіями, де автомобіль знаходиться за дверима 1, 2 та 3 відповідно (кожна попередня ймовірність становить 1/3), а H3 – подія, що ведучий відкриває двері 3.

P(H3 | C1) = 1/2 (автомобіль за вашою дверима — ведучий випадковим чином обирає будь-яку іншу двері з козлом) P(H3 | C2) = 1 (автомобіль за дверима 2 — ведучий ОЗОВІМОВО повинен відкрити двері 3, залишилася лише одна двері з козлом) P(H3 | C3) = 0 (ведучий ніколи не відкриває двері, де знаходиться автомобіль) Байєс: P(C2 | H3) = P(H3|C2)·P(C2) / P(H3) = (1 · 1/3) / [(1/2·1/3) + (1·1/3) + (0·1/3)] = (1/3) / (1/2) = 2/3 Отже, P(C1 | H3) = 1/3 (не змінилося) і P(C2 | H3) = 2/3 (перемога перемикання) Змушена дія ведучого, коли автомобіль знаходиться за дверима 2 — у нього буквально немає вибору, двері 3 єдині, які він може відкрити — це те, що вливає всю ймовірність дверей 2 у ваше спостереження. Ця асиметрія між P(H3|C2)=1 і P(H3|C1)=1/2 – це вся пародія в одній строці.

P(H3 | C1) = 1/2   (car behind your door — host picks either remaining goat door at random)
P(H3 | C2) = 1     (car behind door 2 — host MUST open door 3, it's the only goat left)
P(H3 | C3) = 0     (host never opens the door hiding the car)

Bayes:  P(C2 | H3) = P(H3|C2)·P(C2) / P(H3)
                    = (1 · 1/3) / [(1/2·1/3) + (1·1/3) + (0·1/3)]
                    = (1/3) / (1/2) = 2/3

So P(C1 | H3) = 1/3  (unchanged)   and   P(C2 | H3) = 2/3  (switch wins)

Головне – знання, це вся суть справи

Змінюйте одне припущення – і відповідь повністю зміниться. Якщо господар випадково відчинить двері, не знаючи, де машина, і просто виявить козла, класичне міркування Монті Холла руйнується: обидва залишки дверей дійсно однаково ймовірні, 50/50, оскільки ви тепер умовили на дію господаря, яка не несе жодної інформації (вона могла б відкрити машину і просто не відкритися, завдяки випадковість). Цей варіант іноді називають проблемою «Монті Холла», і плутання його з оригінальним – припущення, що дія господаря неінформативна – є найпоширенішою причиною неправильного інтуїтивного уявлення про 50/50.

Розширюючи масштаб робимо це очевидним

Поширений спосіб зробити результат 2/3 інтуїтивно зрозумілим, а не просто доведеним: уявіть 100 дверей, один автомобіль. Ви обираєте одну двері (1% шанс отримати автомобіль). Хост, який знає, де знаходиться автомобіль, відкриває 98 інших дверей з 99, усі без автомобіля, залишаючи вашу двері та лише одну іншу двері зачиненими. Перемкнулися б ви? Майже всі кажуть так негайно – факт того, що хост усунув 98 дверей, які він знає, що вони порожні, концентрував по суті весь 99% шанс на цій одній двері. Тридверний випадок - такий самий механізм, просто з менш драматичними числами, що й пояснює, чому це обманює людей у класичній версії.

A common way to make the 2/3 result intuitive rather than merely provable: imagine 100 doors, one car. You pick one door (1% chance of the car). The host, who knows where the car is, then opens 98 of the other 99 doors, all goats, leaving your door and exactly one other door closed. Would you switch? Almost everyone says yes immediately — the host's forced elimination of 98 doors he knew were empty has concentrated essentially the entire 99% probability onto that one remaining door.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Monty Hall Paradox і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.