Paradoks Montiego: Dlaczego Zmiana Drzwi Wygrywa Dwie Trzeciny Czasu

Ustawienie, precyzyjnie

Trzy drzwi, jeden samochód, dwie owce. Wybierasz drzwi. Gospodarz – który zna położenie samochodu i nigdy nie otworzy drzwi z ukrytym samochodem lub tymi, które wybrałeś – otwiera jedno z pozostałych dwóch drzwi, zawsze ujawniając kozła. Masz wtedy możliwość wybrania się do jednej z pozostałych zamkniętych drzwi lub pozostania przy swoim pierwotnym wyborze. Pytanie, postawione Marilyn wój Savant w kolumnie Parade z 1990 roku i słynące z fali matematyków piszących, żądając, aby została uznana za błędną, brzmi: czy zmiana pomaga?

Pomaga, a w dużym stopniu: zmiana wygrywa 2/3 czasu, pozostanie wygrywa tylko 1/3. Intuicja, która wprowadza w błąd ludzi, polega na traktowaniu dwóch pozostałych drzwi jako nagle równie prawdopodobnych po ujawnieniu jednego z nich – nie są, ponieważ działanie gospodarza nie było przypadkowe.

Dlaczego Twoja pierwsza domysł jest zamrożony na poziomie 1/3

Obecnie, gdy wybierasz drzwi, prawdopodobieństwo, że samochód jest za nimi, wynosi dokładnie 1/3, a prawdopodobieństwo, że znajduje się on za jednym z pozostałych dwóch drzwi w sumie wynosi 2/3. Kluczowe jest to, że nic, co robi gospodarz później, nie może zmienić przypisanego do Twojego pierwotnego drzwi prawdopodobieństwa – gospodarz zawsze będzie mógł otworzyć drzwi z kozą, niezależnie od tego, co wybrałeś, ponieważ przynajmniej jedno z pozostałych dwóch drzwi gwarantuje ukrycie kozy. Twój pierwotny wybór jest zamrożony na poziomie 1/3 na zawsze; pozostałe 2/3 prawdopodobieństwa, wcześniej rozłożone na pozostałych dwóch drzwiach, całkowicie upadają na to jedno, jedyne drzwi, którego gospodarz nie otworzył.

Teoria Bayesa, krok po kroku

Dla sceptyków, oto pełne obliczenia. Załóżmy, że wybierasz drzwi numer 1, a gospodarz otwiera drzwi numer 3. Niech C1, C2 i C3 oznaczają zdarzenie, że samochód jest za drzwiami numer 1, 2 i 3 (każde z początkowymi prawdopodobieństwami 1/3), a H3 zdarzeniem, że gospodarz otwiera drzwi numer 3.

P(H3 | C1) = 1/2 (samochód za Twoimi drzwiami – gospodarz losuje jeden z pozostałych drzwi z kozłami) P(H3 | C2) = 1 (samochód za drzwiami numer 2 – gospodarz MUSI otworzyć drzwi numer 3, jedyne drzwi z kozłem zostały) P(H3 | C3) = 0 (gospodarz nigdy nie otwiera drzwi ukrywających samochód) Bayes: P(C2 | H3) = P(H3|C2)·P(C2) / P(H3) = (1 · 1/3) / [(1/2·1/3) + (1·1/3) + (0·1/3)] = (1/3) / (1/2) = 2/3 Zatem P(C1 | H3) = 1/3 (niezmienne) i P(C2 | H3) = 2/3 (zmiana wygrywa) Zmuszony ruch gospodarza, gdy samochód jest za drzwiami numer 2 – ma dosłownie żadnej możliwości, drzwi numer 3 to jedyne drzwi, które może otworzyć – to właśnie wprawia całą prawdopodobieństwo drzwi numer 2 w Twoje obserwacje. Ta asymetria między P(H3|C2)=1 a P(H3|C1)=1/2 jest całym paradoksem w jednym zdaniu.

P(H3 | C1) = 1/2   (car behind your door — host picks either remaining goat door at random)
P(H3 | C2) = 1     (car behind door 2 — host MUST open door 3, it's the only goat left)
P(H3 | C3) = 0     (host never opens the door hiding the car)

Bayes:  P(C2 | H3) = P(H3|C2)·P(C2) / P(H3)
                    = (1 · 1/3) / [(1/2·1/3) + (1·1/3) + (0·1/3)]
                    = (1/3) / (1/2) = 2/3

So P(C1 | H3) = 1/3  (unchanged)   and   P(C2 | H3) = 2/3  (switch wins)

Wiedza gospodarza to cała sztuczka

Zmiana jednej założeń powoduje całkowitą zmianę odpowiedzi. Jeśli gospodarz otworzy losowy drzwi bez wiedzy, gdzie znajduje się samochód, i przypadkiem ujawni kozę, klasyczne rozumowanie Monty Halla ulega zerwaniu: pozostałe dwie bramy rzeczywiście są równie prawdopodobne, 50/50, ponieważ teraz skłaniasz się na działanie gospodarza, które nie przekazywało żadnych informacji (mogło ujawnić samochód i po prostu nie, z przypadku). Czasami tę wersję nazywają problemem Monty Fall, a mylenie jej z oryginalną – zakładając, że ujawnienie kozy przez gospodarza jest pozbawione znaczenia – stanowi najczęstsze źródło błędnego intuicji 50/50.

Skalowanie tego sprawia, że staje się to oczywiste

Często używa się tego, aby uzyskać intuicyjny wynik 2/3 zamiast tylko go udowodnić: wyobraź sobie 100 drzwi, jeden samochód. Wybierasz jedno drzwi (1% szansy na samochód). Gospodarz, który wie, gdzie jest samochód, otwiera 98 pozostałych 99 drzwi, wszystkie z kozami, pozostawiając twoje drzwi i dokładnie jedno inne drzwi zamknięte. Zmiana byś? Właśnie tak reaguje niemal każdy – fakt, że gospodarz usunął 98 drzwi, które wiedział, że są puste, skoncentrował w zasadzie całą 99% prawdopodobieństwa na tym jednym pozostałym drzwiu. Podobnie jest w przypadku trzech drzwi, tylko z mniejszymi liczbami, co wyjaśnia, dlaczego ludzie mylą klasyczną wersję.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Monty Hall Paradox i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.