Максвелів колесо: Закон збереження енергії у падінні маятника

А йойо, яке на собі інерцію

Колесо Максвелла – це важкий диск, закріплений на тонкому валу, з двома мотузками, обмотаними навколо валу та закріпленими зверху. При випуску з положення спокою во розгортається і опускається, але значно повільніше, ніж вільно падаюче йойо, – і причина цього повністю пов'язана з тим, куди дозволено переходити потенційну гравітаційну енергію. Кожна юле потенційної енергії, втрачена, повинна стати кінетичною енергією, але тут диск може рухатися вниз лише з тією швидкістю, яка виникає завдяки розгортанню валу через радіус r: v = ωr.

m g h  =  ½ m v²  +  ½ I ω²           energy conservation
v = ω r                                  rolling constraint (r = axle radius, small)
 
a = g / (1 + I / (m r²))                 resulting downward acceleration

Чому тонкий вал все змінює

Оскільки момент інерції диска I визначається переважно масою, яка знаходиться далеко від осі (I ≈ ½ M R² для однорідного диска радіусу R), а обмеження використовує значно менший радіус вала r, відношення I / (m r²) може бути величезним – десятки або сотні. Введення цього значення у формулу прискорення показує, що більшість енергії падіння змушена переходити в обертання, а не в вертикальне рух, тому колесо опускається лише на невелику частку g. Одна й та ж фізика, масштабована, пояснює, чому твердий м’яч, що котиться вниз по схилу, прискорюється повільніше, ніж блокування без тертя, що ковзає вниз по тому ж схилу: частина доступної енергії не має куди іншого, як у обертання.

Опускання без зупинки

Коли намотування нитки завершене, колесо продовжує обертатися з великою швидкістю – воно не зупиняється, оскільки в цей момент немає нічого, щоб прибрати його обертову моменту. Замість цього нитка починає намотуватися назад у протилежному напрямку, і той самий баланс енергії тепер діє в зворотному порядку: обертальна та поступальна кінетична енергія перетворюються назад у висоту, коли колесо піднімається. У теоретичному, без тертя моделі з нерозривною ниткою, колесо повертається точно до початкової висоти, потім падає знову – постійний вгору-вниз осцилювання, повністю живитися силою тяжіння та взаємодією між лінійним і обертальним інерцією, без необхідності зовнішнього енергетичного введення.

Де знаходиться справжня енергія

Справжні колеса не коливаються вічно. Атмосферний опір виснажує трохи кінетичної енергії на кожному проході, мотузя не є ідеально нерозтяжною, а тертення між мотузкою та осі перетворює невелику кількість механічної енергії в тепло кожного разу, коли колесо змінює свій рух у нижній частині своєї подорожі. Отже, кожне стрибка досягає трохи нижчого піку, ніж попередній, експоненційно спадний вигляд, накладений на ту саму енергетичну торгівлю, яку передбачає ідеальна модель.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Maxwell's Wheel і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.