Koło Maxwella: Zachowanie Energii w Spadającym Yo-Yo |… |…

Zaczarowany koło Maxwella

Koło Maxwella to ciężki dysk zamontowany na cienkiej osi, z dwiema linkami owiniętymi wokół osi i przymocowanymi powyżej. Uwolony z drżenia, rozkręca się i opada, ale znacznie wolniej niż w przypadku swobodnego spadku – a powód tkwi w tym, gdzie jest kierowany potencjalny energię grawitacji. Każda joule energii potencjalnej traconej musi stać się energią kinetyczną, ale tutaj dysk może poruszać się tylko w dół z tą samą prędkością, jaką obraca oś, co wiąże prędkość liniową z prędkością obrotową przez promień osi r: v = ωr.

m g h  =  ½ m v²  +  ½ I ω²           energy conservation
v = ω r                                  rolling constraint (r = axle radius, small)
 
a = g / (1 + I / (m r²))                 resulting downward acceleration

Dlaczego cienkie ramię zmienia wszystko

Ponieważ moment bezwładności talerza I jest dominujący ze względu na masę, która znajduje się daleko od osi (I ≈ ½ M R² dla jednolitego tarczy o promieniu R), a ograniczenie wykorzystuje znacznie mniejsze ramię o promieniu r, stosunek I / (m r²) może być ogromny – setki lub tysiące. Wprowadzenie tego do wzoru na przyspieszenie pokazuje, że większość energii spadkowej jest zmuszana do obrotu zamiast ruchu w dół, więc koło opada z niewielkiej części g. Ta sama fizyka, powiększona, wyjaśnia, dlaczego stały kulka rolująca się po schodach spowalnia bardziej niż blok bez tarcia ślizgający się po tych samych schodach: część dostępnej energii nie ma gdzie popłynąć, tylko do obrotu.

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Wyhamowywanie bez zatrzymywania się

Gdy lina jest całkowicie rozprostowana, koło nadal obraca się z dużą prędkością – nie przestaje, ponieważ w tym momencie nie ma niczego, co by mogło usunąć jej moment pędu obrotowego. Zamiast tego lina zaczyna się zwijać do tyłu w przeciwnym kierunku, a ten sam bilans energii teraz działa odwrotnie: energia kinetyczna rotacyjna i translacyjna zamienia się na wysokość, gdy koło wznosi się. W idealnym, nieposzorowanym modelu z nieciągalną liną, koło wraca dokładnie do swojej pozycji początkowej, a następnie spada ponownie – ciągła, w górę-i-w dół oscylacja, całkowicie napędzana przez grawitację i oddziaływanie między momentem bezwładności liniowego a obrotowym, bez potrzeby zewnętrznego dostarczania energii przez model.

Gdzie rzeczywiste urządzenie traci energię

Rzeczywiste koła nie oscylują w nieskończoność. Opór powietrza odprowadza niewielką ilość energii kinetycznej na każdym przejściu, a lina nie jest idealnie nieciągnieżliwa, a tarcie w punkcie styku liny i wału zamienia niewielką ilość energii mechanicznej w ciepło za każdym razem, gdy koło zmienia kierunek obrotu na dole swojego ruchu. Dlatego też każdy odbijający się element osiąga nieco niższą wartość szczytową niż poprzedni, a na tym samym procesie wymiany energii, przewidywanym przez idealny model, nakłada się wykładniczo zanikająca forma pierścieniowa.

Frequently asked questions

Dlaczego koło wznosi się z powrotem zamiast po prostu zatrzymać na dole?

Na najniższym punkcie koło nadal obraca się – nic nie powoduje jego zatrzymania. Podczas zwijania się liny w przeciwnym kierunku, ta energia kinetyczna obrotowa i translacyjna konwertuje z powrotem na wysokość, więc idealne koło bez tarcie wraca do (bardzo blisko) pozycji początkowej, a cykl się powtarza.

Dlaczego spada ono znacznie wolniej niż w przypadku upadku swobodnego?

Jego prędkość spadkowa jest związana z prędkością obrotową przez liny, a jego moment bezwładności ustalany jest głównie przez masę znajdującą się daleko od cienkiej osi. Ta niezgodność oznacza, że większość uwolnionej energii grawitacji jest zmuszana do obrotu zamiast ruchu w dół, co zmniejsza efektywne przyspieszenie do niewielkiego ułamka g.

Jaką rolę odgrywa konkretnie promień osi?

Wzór na przyspieszenie dzieli przez 1 plus I/(m r²), gdzie r to promień osi. Cienka oś powoduje, że ten współczynnik jest większy i przyspieszenie mniejsze – fizycznie, cienka oś wymusza duży obrót dla niewielkiej wysokości opadania, kierując więcej energii do rotacji.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Maxwell's Wheel i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Maxwell's Wheel