Рівняння Максвелла та електромагнітні хвилі

Чотири закони, що тихо передбачають хвилю

Джеймс Клерк Максвелл не намагався відкрити світло. Між 1861 і 1865 роками він об’єднав усе, що було відомо про електрику та магнетизм, у чотири закопані один в одного рівняння — закон Гауса для E, закон Гауса для B, закон Фарадея про виділення та закон Ампера — і знайшов, що його власний додаток до закону Ампера, термін, який він назвав дийсним струмом зміщення, був необхідний для підтримки математичної узгодженості, коли заряд не зберігається локально простим способом. Цей один додаток мав наслідок, якого ніхто не чекав: змінююче електричне поле само по собі може генерувати магнітне поле так само, як змінюючий магнітний потік генерує електричне поле, і обидва ефекти можуть підтримувати один одного безперервно, навіть у порожньому просторі без будь-яких зарядів або струмів поруч.

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Від чотирьох рівнянь до одного рівняння хвилі

У вакуумі, без зарядів чи струмів, рівняння Максвелла спрощуються до спільного парного рівняння, яке пов’язує швидкість зміни E з ротором B і навпаки. Обчислення ротора одного рівняння та підстановка іншого скасовують одне поле повністю, залишаючи стандартну хвильову рівняння для іншого:

∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t² (і ідентичне рівняння для B) Розв’язок хвилі, що рухається вздовж z: E = E₀ cos(kz − ωt) x̂ B = B₀ cos(kz − ωt) ŷ швидкість хвилі c = ω/k = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3.00 * 10^8 м/с відношення амплітуд |E| = c|B| всюди, в будь-який момент часу Швидкість, яка випливає, c = 1/√(μ₀ε₀), повністю побудована з двох констант, які вже були виміряні незалежно в звичайних електростатиці та магнетостатиці — нічого про світло не було припущено ніде в обчисленні. Коли Максвелл оцінив кількість і знайшов її відповідність експериментально виміряній швидкості світла з точністю того часу, він написав, що ця домовленість «мало не випадкова» та зробив висновок, що саме світло є електромагнітним явищем.

∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²         (and the identical equation for B)

Plane-wave solution travelling along z:
  E = E₀ cos(kz − ωt) x̂
  B = B₀ cos(kz − ωt) ŷ

wave speed  c = ω/k = 1/√(μ₀ε₀)  ≈  3.00 × 10⁸ m/s
amplitude ratio  |E| = c|B|  everywhere, at every instant

Чому Е, В і напрямок руху взаємоперпендикулярні

Вищезазначене рішення про хвиль не є єдиним математично можливим — це рішення, яке відповідає всім чотирьом рівнянням Максвелла одночасно. Закони Гауса (нульова дивергенція для Е та В у вакуумі) виключають будь-який компонент поля вздовж напрямку руху, тому електромагнітна хвиля є чисто поздовжньою. Потім закони Фарадея та Ампера закріплюють два інші поздовжні напрямки: змінюючийся В змушує спіральне Е вздовж х, і це змінюване Е в свою чергу генерує В вздовж у, завжди на 90 градусів відносно напрямку руху хвилі. Немає жодної конфігурації Е та В, яка б задовольняла всі чотири рівняння та спрямовувала Е або В вздовж осі поширення.

Лінійна проти коловорітна поляризація

Рівняння хвилі лише визначає, що E є прозорою та коливається синхронно з B — воно нічого не говорить про те, в якому напрямку E повинна бути спрямована, або чи може цей напрямок змінюватися під час руху хвилі. У лінійній поляризації E коливається вперед і назад вздовж однієї фіксованої лінії, як у найпростішому розв’язку хвилі вище. Коловорітна поляризація створюється шляхом суперпозиції двох лінійно поляризованих хвиль однакової амплітуди вздовж перпендикулярних осей, на 90 градусів не в фазі один з одним — вектор E, який виникає, постійно зберігає величину, але обертається стабільно навколо осі просування, прокладаючи спіраль у просторі під час руху хвилі. Різна амплітуда або відхилення фази від 90 градусів дають загальний випадок еліптичної поляризації, з лінійною та коловорітною як її двома особливими випадками.

Frequently asked questions

Чому E та B мають бути перпендикулярними одна одній?

Це випливає безпосередньо з законів Фарадея та Ампера, застосованих до плоскі хвилі: змінне значення B в одному напрямку індукує спіральне значення E, яке є перпендикулярним до нього, а змінне значення E індукує спіральне значення B, яке також є перпендикулярним. Розв’язування закорельованих рівнянь для хвилі, що рухається вздовж осі, змушує E та B опинитися на двох інших, взаємоперпендикулярних осях, обидві також перпендикулярні напрямку руху – це передназвана просторова хвиля без іншого послідовного рішення у вакуумі.

Як швидкість світла випливає з рівнянь Максвелла?

Об’єднуючи закон Фарадея та закон Ампера-Максвелла (з доданим термом зміщеного струму Максвелла) та віднімаючи один поле, отримують стандартну хвильову рівняння для іншого, швидкість хвилі якої визначається повністю двома константами, виміряними в звичайних експериментах електростатики та магнетизму: c = 1/sqrt(mu_0 * epsilon_0). Коли Максвелл обчислив це число у 1861-62 роках, воно майже точно співпало зі швидкістю світла, тому він висновував, що світло саме по собі є електромагнітною хвилею.

Яка фізична відмінність між лінійною та круговою поляризацією?

У лінійній поляризації E коливається назад і вперед вздовж однієї фіксованої лінії, коли хвиля поширюється. У круговій поляризації об’єднуються дві перпендикулярні лінійні компоненти рівної амплітуди під кутом 90 градусів з фазовою різницею, тому вершина вектора E відтворює коло навколо осі поширення замість лінії, охоплюючи повний оберт один раз за період хвилі. Еліптична поляризація є загальним випадком між цими двома, коли два компоненти мають різні амплітуди або іншу фазову різницю, окрім 90 градусів.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Maxwell Waves і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Maxwell Waves

Рівняння Максвелла та електромагнітна хвиля