Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

Cztery prawa, które cicho implikują falę

James Clerk Maxwell nie podjął się odkrywania światła. Między 1861 a 1865 rokiem zjednoczył wszystkie wtedy znane informacje o elektryczności i magnetyzmie w cztery sprzężone równania – prawo Gaussa dla E, prawo Gaussa dla B, prawo Faradaya dotyczące indukcji oraz prawo Ampera – i stwierdził, że jego własne dodanie do prawa Ampera, określane jako prąd wypierający, było konieczne, aby zachować spójność matematyczną równań, gdy ładunek nie jest zachowywany lokalnie w naiwny sposób. To pojedyncze dodanie miało konsekwencję, której nikt nie oczekiwał: zmieniające się pole elektryczne mogło samo z siebie generować pole magnetyczne dokładnie tak jak zmieniające się pole magnetyczne generuje pole elektryczne, a oba efekty mogły wzajemnie się od siebie podsycać w nieskończoność, nawet w próżni bez ładunków ani prądów gdziekolwiek w pobliżu.

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Od czterech równań do jednej równania falowego

W próżni, bez ładunków ani prądów, równania Maxwella redukują się do pary sprzężonych, które łączą szybkość zmian E z wezwaniem B i odwrotnie. Wykonanie wezwanięcia jednego i podostawienie drugiego eliminuje jedno pole całkowicie, pozostawiając standardowe równanie falowe dla drugiego: ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t² (i identyczna równość dla B)

Rozwiązanie falowe płaszczyznowe poruszające się wzdłuż z: E = E₀ cos(kz − ωt) x̂ B = B₀ cos(kz − ωt) ŷ

Prędkość fali c = ω/k = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3.00 × 10^8 m/s Szybkość c = 1/√(μ₀ε₀) jest w pełni zbudowana z dwóch stałych, które zostały niezależnie zmierzone w eksperymentach z elektrostatyki i magnetostatyki – nigdzie nie zakładano niczego o świetle w tym procesie. Kiedy Maxwell obliczył liczbę i ona pasowała do eksperymentalnie zmierzonych prędkości światła z dokładnością dnia, napisał, że zgoda "można w zasadzie uznać za przypadek" i stwierdził, że samo światło musi być zjawiskiem elektromagnetycznym.

∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²         (and the identical equation for B)

Plane-wave solution travelling along z:
  E = E₀ cos(kz − ωt) x̂
  B = B₀ cos(kz − ωt) ŷ

wave speed  c = ω/k = 1/√(μ₀ε₀)  ≈  3.00 × 10⁸ m/s
amplitude ratio  |E| = c|B|  everywhere, at every instant

Dlaczego E, B i kierunek podróży są wzajemnie prostopadłe

Rozwiązanie falowe płaskie powyżej nie jest jedynym matematycznie możliwym – jest to jedyne zgodne z wszystkimi czterema równaniami Maxwella jednocześnie. Prawo Gaussa (zerowa dywergencja dla E i B w próżni) wyklucza wszelkie składowe pola wzdłuż osi podróży, dlatego też fala elektromagnetyczna jest wyłącznie poprzeczna. Prawa Faradaya i Ampera następnie zamykają pozostałe dwie kierunki poprzeczne: zmieniające się B wzdłuż y zmusza skrętny E wzdłuż x, a ta zmieniająca się E z kolei regeneruje B wzdłuż y, zawsze pod kątem 90 stopni od kierunku propagacji. Nie ma konfiguracji E i B, która spełniałaby wszystkie cztery równania i wskazywałaby E lub B wzdłuż osi propagacji.

Równoległe vs poprzeczne polaryzacja

Równanie falowe określa jedynie, że E jest przymierzałe i oscyluje w rytmie z B — nie mówi nic o tym, w którym kierunku przymierzałego E ma wskazywać, ani czy ten kierunek może się zmieniać podczas przesyłania fali. W polaryzacji równoległej E oscylowało wzdłuż pojedynczej, nieruchomej linii, jak w najprostszym rozwiązaniu falowym powyżej. Polaryzacja poprzeczna powstaje przez superponowanie dwóch fal polarizowanych liniowo o równej amplitudzie osi symetralnych, pod kątem 90 stopni od siebie – wektor E resultantny utrzymuje stałą wartość, ale stale obróci się wokół osi propagacji, rysując helis w przestrzeni podczas przesyłania fali. Nierówna amplituda lub przesunięcie fazowe inne niż 90 stopni daje ogólny przypadek polaryzacji eliptycznej, z liniową i poprzeczną jako jej dwa specjalne przypadki.

Frequently asked questions

Dlaczego E i B muszą być względem siebie prostopadłe?

Wynika to bezpośrednio z praw Faradaya i Ampera zastosowanych do fali płaskiej: zmienne w czasie B w jednym kierunku indukuje skręcający się E prostopadle do niego, a zmienne w czasie E indukuje skręcający się B prostopadle do tego. Rozwiązanie sprzężonych równań dla fali poruszającej się wzdłuż osi wymusza na E i B zajęcie dwóch pozostałych, wzajemnie prostopadłych osi, obydwie prostopadłe do kierunku ruchu – fala poprzeczna bez innej spójnej rozwiązania w próżni.

Jak prędkość światła wypływa z równań Maxwella?

Łącząc prawo Faradaya i prawo Ampera-Maxwella (z dodatkowym członem prądu przesuniętego dodanym przez Maxwella) oraz eliminując jedno pole, otrzymujemy standardową równanie falowe dla drugiego, z prędkością fali ustalona całkowicie przez dwie stałe mierzone w zwykłych eksperymentach elektrostatyki i magnetostatyki: c = 1/sqrt(mu_0 * epsilon_0). Kiedy Maxwell obliczył tę liczbę w latach 1861-62, pasowała ona tak ściśle do już zmierzonej prędkości światła, że uznał, iż samo światło musi być falą elektromagnetyczną.

Jaki jest fizyczny rozdział między polaryzacją liniową a okręgową?

W polaryzacji liniowej E oscyluje wzdłuż jednej ustalonej linii, gdy fala się propaguje. W polaryzacji okrągowej łączone są dwa prostopadłe komponenty liniowe o równej amplitudzie, o 90 stopni względem siebie fazowo, więc końcowy wektor E opisuje okrąg wokół osi propagacji zamiast linii, wykonując pełny obrót raz na cykl fali. Polaryzacja eliptyczna jest ogólnym przypadkiem, gdy oba komponenty mają nierówne amplitudy lub inny przesunięcie fazowe niż 90 stopni.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Maxwell Waves i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Maxwell Waves

Równania Maxwella i fala elektromagnetyczna