Розуміння ймовірностей переходів

Основні поняття

Марковська ланцюг складається зі множини станів (наприклад, «гарячий», «холодний») та переходів між цими станами. Кожен перехід має пов’язану ймовірність, що відображає ймовірність переходу з одного стану в інший.

Ключовим принципом є те, що ймовірність переходу до будь-якого конкретного стану на наступному часовому кроці залежить *тільки* від поточного стану. Це називається марковською властивістю або «відсутністю пам’яті».

P(Xt+1 = x | Xt = y) = P(Xt+1 = x | Xt = y)

Перехідна матриця

Стан переходу часто представляється у вигляді перехідної матриці, позначеної як *P*. Кожний елемент Pij представляє ймовірність переходу з стану *i* в стан *j* за один часовий крок.

Для кінцевого марковського ланцюга з *n* станами, перехідна матриця буде мати розмірність *n x n*, де сума кожного рядка дорівнює 1. Це відображає те, що система повинна перейти в один із доступних станів.

P = [[p11, p12, ..., p1n], [p21, p22, ..., p2n], ... , [pn1, pn2, ..., pnn]]

Обчислення ймовірностей

Ймовірність переходу з початкового стану в конкретний кінцевий стан після *t* кроків обчислюється шляхом множення відповідних елементів матриці переходів *t* разів.

Наприклад, якщо ви починаєте у стані 1 і хочете знати ймовірність перебування у стані 3 після 2 кроків, ви обчислите P21,3.

P(Xt = x) = (P * P * ... * P)t  (repeated t times)

Застосування

Марковські ланцюги використовуються в широкому спектрі застосувань, включаючи прогнозування погоди, аналіз фондового ринку та секвенування ДНК. Вони моделюють системи, де наступний стан залежить лише від поточного стану.

У симуляціях вони дозволяють нам представляти складні динамічні системи з відносною простотою, зосереджуючись на переходах між дискретними станами.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте SPH Fluid і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.