Конвекція мантиї: Повільний двигун під плитами тектоніки

Тверде гірське наднорму, що тече як сироп

Мантія Землі складається з твердого гірського каменю, але протягом геологічних часів поводиться як надзвичайно в'язка рідина – приблизно 10^21 Па*с, що становить близько трильйона трильйонів разів більшу в’язкість, ніж у води. Під постійним напруженням протягом мільйонів років кристалічні дефекти мігрують через решітку гірської породи (твердотне плиниття) і вся маса тече повільно, без розплаву. Тепло від межі земної кори – мантії (близько 3500-4000 кельвінів) та радіоактивне розпад у самій мантії роблять гірську породу внизу гарячішою і, відповідно, менш щільною, ніж гірку зверху. Менш щільна речовина піднімається, а охолоджена, більш щільна – опускається, і разом вони створюють повільний, безперервний перевертаючий обертання – мантійне конвекційне циркулювання, яке займає десятки або сотні мільйонів років для завершення одного циклу.

Райліха-Бенерда конвекція та число Райлі

Класичний лабораторний експеримент у цьому випадку – це Райліха-Бенерда конвекція: шар рідини, нагрітий знизу та охолоджений зверху. Чи відбувається конвекція взагалі – на відміну від простого проходження тепла через нерухомий шар – залежить від одного безрозмірної величини, числа Райлі (Ra):

Ra = (g * α * ΔT * h^3) / (κ * ν) g прискорення вільного падіння α коефіцієнт теплового розширення ΔT різниця температур через шар h товщина шару κ теплопровідність ν кінематична в’язкість Число Райлі порівнює підйомну силу, яка сприяє перевертанню, з двома факторами, які її стримують: в’язкістю (ν), що гасить рух, та теплопровідністю (κ), яка згладжує температурну різницю перед тим, як вона може призвести до значного потоку. Нижче критичної величини (приблизно 1708 для ідеальних жорстких меж) будь-яке початкове збурення розсіюється, і тепло передається шляхом проведення. Вище цієї межі утворюються та ростуть конвекційні комірки, а для земної мантії оцінене число Райлі коливається приблизно від 10^6 до 10^8 – значно надкритичне, що означає, що мантия активно перетікає, а не незначно.

Ra = (g * alpha * deltaT * h^3) / (kappa * nu)

g        gravitational acceleration
alpha    thermal expansion coefficient
deltaT   temperature difference across the layer
h        layer thickness
kappa    thermal diffusivity
nu       kinematic viscosity

Підхід Боссінеска

Моделювання стисненого рідини, щільність якої справді змінюється залежно від глибини та температури, є обчислювально дорогим завданням. Стандартне спрощення – підхід Боссінеска – розглядає щільність як постійну всюди, крім члена тертя в рівнянні імпульсу, де невелика варіація щільності, зумовлена температурними градієнтами, є тим рушієм, що призводить до руху. Це дозволяє захопити сутність теплового конвективного потоку – виштовхування (буйство) є рушійною силою, а все інше розглядається як незмінюване (інкомпресоване) – при цьому рівняння, що регулюють (рівняння сталості, імпульсу з джерелом виштовхування та теплопровідності-дифузії), стають вирішуваними на сітці за допомогою методів кінцених різниць або об'ємної інтеграції.

continuity:  div(u) = 0
momentum:    rho0 * (du/dt) = -grad(p) + nu*laplacian(u) + rho0*g*alpha*(T - T0)
heat:        dT/dt + u . grad(T) = kappa * laplacian(T)

Від конвекційних комірок до тектоніки плит

Конвекція надманті в не просто дивовижна — це рушійна сила тектоніки плит. Підйомні гілки конвекційного закономірності відповідають середньоокеанським хребтам, де гарячий матеріал піднімається та розповсюджується, утворюючи нову океанічну кору; спідлобальні гілки відповідають зонам субдукції, де старі, охолоджені, щільні океанічні плити знову занурюються в мантію. Самі плити є суттєво твердими та холодними верхньою тепловою межею конвекційної системи — вони тягтяться за нею і, в свою чергу, допомагають приводити в дію цю циркуляцію. Саме тому симуляції надмантійної конвекції використовують слайдери для в'язкості та теплового потоку: справжня в’язкість мантії варіюється на порядки величини залежно від температури та тиску, і ця варіація визначає, чи організовується конвекція у кілька великих комірок (закономірність, що наближається до кількох основних тектонічних плит Землі), або у багато малих.

Що насправді робить розв’язувач сітки

2D-реалізація на основі кінцевих різниць дискретизує температуру та швидкість по сітці, розв’язує рівняння імпульсу для поля потоку, враховуючи поточне розподілення припливів (часто через формулювання з використанням струмічної функції/обертальності для автоматичного задоволення умови несжимаємості), а потім переносить та розмиває поле температури вперед на один крок часу, використовуючи цю швидкість, і повторює. Стабільний крок часу обмежений як умовою CFL на перенесенні, так і межею стабільності через дифузію для рівняння тепла, тому збільшення числа Рейнольдса в демонстрації – більш інтенсивне конвективне обертання, швидший потік – зазвичай змушує зменшити розмір кроку часу, щоб забезпечити чисельну стабільність.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Mantle Convection і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.