Вовк і Заєць: Рівняння Лотки-Вольтерра хижак-жертва

Дві популяції, дві пов’язані рівняння

Заєць та вовк є живою реалізацією рівнянь Лотка-Вольтерра, незалежно запропонованих Альфредом Лоткою (1925) та Віто Вольтеррою (1926) для опису того, як хижак і жертва регулюють чисельність одне одного з часом. Нехай R - це кількість зайців, а F - це кількість вовків:

dR/dt = α·R − β·R·F (зайці ростуть, але їх їдять вовки) dF/dt = δ·R·F − γ·F (вовки потребують зайців для зростання, інакше голодують) жива демонстрація · популяції зайців та волків з часом● ЖИВО Кожен термін має просте пояснення. α·R є експоненційним ростом зайців відсутності волків - достатньо трави, без хижаків, популяція просто вибухне. β·R·F є швидкістю, з якою зайці їдяться, пропорційно кількості зустрічей вовка та зайця, яка сама по собі масштабується за допомогою добутку двох популяцій. δ·R·F - це те, як ця передздібності перетворюється на нових волків, а γ·F - вовки, які вмирають від голоду, за постійної швидкості, коли немає чого їсти.

dR/dt = α·R − β·R·F      (rabbits grow, but are eaten by foxes)
dF/dt = δ·R·F − γ·F      (foxes need rabbits to grow, else starve)

Чому популяції полюють один за одним

Введіть типові початкові дані, і ви отримаєте цей шаблон, який зрештою розпізнає кожен студент біології: кролики множаться, а волки рідкісні. Зростаюча популяція кроликів живиться зростаючою популяцією волків. Популяція волків перенаселяється та швидше харчується кроликами, ніж вони можуть розмножуватися, кролики падають, і з відсутності їжі популяція волків також падає — звільняючи шлях для відновлення кроликів і повторення циклу. Намалюйте як дві лінії в часі, обидві популяції коливаються; на фазовій площині (кролики по одній осі, вовки по іншій) система простежує закритий цикл, який повторюється безперервно в ідеалізованій моделі, з кривою волків, яка постійно відстає від кривої кроликів — хижаки реагують на кількість здобичі, а не навпаки.

Це не просто іграшка: перше кількісне тестування походило з справжніх записів про торгівлю хутром. Книги обліку лисиць та біликів Hudson's Bay Company, що накопичувалися в Канаді з 1840-х років, майже століття, показують майже точно цей тип невідповідності, і це залишається одним із найбільш цитованих у екології доказів циклів хижак-жертва в природі.

Де знаходиться ідеалізована модель

Класичні рівняння Лотки-Вольтерра зберігають величину, аналогічну енергії, тому в чистому математичному моделюванні коливання ніколи не згасають і не зростають — ідеалізація, яка передбачає необмежене харчування кроликів, відсутність інших хижаків, хвороби та випадкових коливань. Реальні екосистеми додають тертя: термін ноші обмежує ріст кроликів навіть без лис (їх є лише стільки трави), що призводить до того, що коливання згасають до стабільного рівноважного пункту замість вічного циклу. Додайте просторову структуру, сезони або третю особу, і акуратний замкнутий цикл може стати набагато нерегулярнішим, іноді навіть хаотичним.

Версія на цьому сайті зберігає класичну двотермну модель, інтегровану за допомогою одного кроку часу, щоб крива популяції, яку ви бачите, будучи побудованою, справді обчислювалася в режимі реального часу, а не відтворювалася з аніме-анімації — трохи підкоргуйте слайдери для швидкості росту або полювання посередині запуску, і період та амплітуда коливань помітно зміняться.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Fox & Rabbits і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.