Логістична карта: Як одна рівняння виробляє хаос

Логістична карта та розбій

Логістична карта – найпростіший можливий модель популяції, що росте і обмежується власною переповненістю. Вона має одну змінну x, масштабовану так, щоб вона знаходилася між 0 та 1 (частина від деякої місткості), та один регулятор r, швидкість зростання:

x(n+1) = r . x(n) . (1 - x(n)) 0 <= x <= 1, 0 <= r <= 4 Термін r . x є звичайним експоненційним зростанням; термін (1 - x) є гальмом, яке стає сильнішим, коли x наближається до місткості – багато їжі та простору, коли x малий, голод і конкуренція, коли x близький до місткості. Цей єдиний множний гальмо достатньо для виробництва будь-якої якісної поведінки динамічної системи: стабільні точки, періодичні цикли та повна хаотичність, залежно від значення r.

x(n+1) = r . x(n) . (1 - x(n))          0 <= x <= 1,  0 <= r <= 4

Шлях до хаосу: періодичне наповнення

Ітеруйте карту для фіксованого r, викидайте перші кілька сотень кроків як тимчасові, і малюйте кожне значення x, яке слідує – це один вертикальний зріз діаграми розбіжності. Для 0 < r < 1 популяція вимирає до x = 0. Для 1 < r < 3 вона стабілізується в єдину стабільну величину, x* = 1 - 1/r. При r = 3 ця фіксована точка втрачає стабільність і орбіта починає чергуватися між двома значеннями – період-2 цикл. Продовжуйте збільшувати r, і кожен цикл сам по собі стає нестабільним і розщеплюється знову: період 2 до 4 при r ≈ 3.449, 4 до 8 при r ≈ 3.544 і так далі, із зменшенням інтервалів між послідовними розщепленнями на постійний коефіцієнт.

Цей коефіцієнт, δ ≈ 4.6692016, є константою Фегенбаума. Мітчелл Фегенбаум виявив у 1970-х роках, що вона універсальна – одна й та сама цифра керує шляхом періодичного наповнення до хаосу майже в будь-якій гладкій карті з одним гребнем і в реальних фізичних системах (краплі води, конвекція рідин, деякі електронні схеми), які не мають нічого спільного з біологічною популяцією. Це був один із перших твердих доказів того, що хаос має власні кількісні закони, а не тільки якісні.

Хаос, вікна та павутина

Каскад накопичується при r∞ ≈ 3.56995, за яким цикл стає періодичним для більшості значень r – це хаотична область, і вона займає більшість інтервалу до r = 4. Це не повний хаос, хоч: на діаграмі є чіткі білі проміжки, періодичні вікна, де стабільний цикл знову виникає з хаосу, найявно – вікно періоду 3, що відкривається приблизно при r ≈ 3.8284. За теоремою, популяризованою як «три періографи означають хаос», існування будь-якого періоду 3 гарантує існування циклів будь-якої іншої перифії в тому самому просторі карт.

Найпростіший спосіб спостерігати за окремою траєкторією, а не за статистичною діаграмою – це графік павутини: намалюйте y = r x (1-x) та діагональ y = x, почніть з деякого x0 на діагоналі, підніміться до кривої, через діагональ, знову підніміться до кривої. У стабільній області павутина щільно скручується в нерухому точку; у хаотичній області вона ніколи не встановлюється, простежуючи інший переплетений шлях від майже будь-якого початкового значення.

Вимірювання хаосу: ляйпуновський експонент

Хаос означає чутливість до початкових умов — дві стартові точки, розділені невеликою відстанню, експоненціально швидко розходяться. Швидкість цього розходження є ляйпуновським експонентом λ, обчислений шляхом усереднення натурального логарифму локального коефіцієнта розтягу |f'(x)| = |r(1 - 2x)| вздовж орбіти:

lambda(r) = lim (1/N) . sum_{n=0}^{N-1} ln | r (1 - 2 x(n)) | λ 0 означає, що вони експоненціально розходяться — хаос — і 1/λ встановлює ляйпуновський час, кількість ітерацій до тих пір, поки невизначеність розміром з похибку при округленні не переважає всі прогнози. Побудова λ(r) разом із діаграмою біфуркації робить періодичні вікна очевидними: λ опускається нижче нуля точно там, де періодна орбіта тимчасово виграє інтервал.

lambda(r) = lim (1/N) . sum_{n=0}^{N-1} ln | r (1 - 2 x(n)) |

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Logistic Map і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.