Кислотно-лужні фігури Лапльє: геометрія двох ритмів

Два підвіси під прямим кутом

Лезерна фігура – це траєкторія точки, горизонтальна позиція якої слідує за однією синусоїдною хвилею, а вертикальна – за іншою незалежною синусоїдною хвилею, одночасно. Найпростіший спосіб уявити це: уявіть підвіс, що розмахується зліва направо та інший, що розмахується вперед-назад одночасно, під прямим кутом один до одного. Відстежуйте їх комбінований рух і, залежно від того, як пов’язані їх частоти та початкові фази, ви отримаєте все від простої еліпса до складної в’язкої вузла.

x(t) = A · sin(a·t + δ) y(t) = B · sin(b·t) A, B – амплітуди (горизонтальна / вертикальна) a, b – кутові частоти δ – зсув фаз між двома коливаннями

Жива демонстрація • x та y кожен приводиться незалежною синусоїдною хвилею • LIVE Ці криві названі на честь Жюля Антуана Лезерза, французького фізика, який вивчав їх у 1850-х роках за допомогою розумної оптичної установки: він відбивав світлову промені від двох дзеркал, прикріплених до двох гуртів, що вібрували під прямим кутом один до одного, і фотографував отриманий на екрані малюнок. Близкий за формою малюнок був описаний раніше американським математиком Натаніелем Бодчі в 1815 році, тому криві також іноді називають «кривими Бодчі».

x(t) = A · sin(a·t + δ)
y(t) = B · sin(b·t)

A, B    amplitudes (horizontal / vertical)
a, b    angular frequencies
δ       phase offset between the two oscillations

Частотне співвідношення визначає форму

Найважливішим числом у фігурі Лизенуса є відношення a:b двох частот. Коли це відношення є простим дрібним цілим числом — 1:1, 1:2, 2:3, 3:4 — крива замикається на себе та стабілізується після обмеженого часу, оскільки два коливання врешті-решт повертаються до точної початкової взаємної залежності. Відношення 1:1 відтворює еліпс (коло, якщо зсув фази становить 90° та амплітуди відповідають); відношення 1:2 відтворює форму, що нагадує перевернуту восьмірку або параболу; вищі відношення створюють все більш складні в’язані візерунки. Якщо відношення є ірраціональним — не може бути виражене як відношення цілих чисел — крива ніколи не точно повторюється, а замість цього повільно заповнює весь простір, обмежений рамкою, що називається квазіперіодичним рухом.

a:b = 1:1 → еліпс / коло a:b = 1:2 → петля, схожа на восьмикутник a:b = 3:4 → в’язана, багатопроникова крива a:b ірраціональне → ніколи не замикається, повільно заповнює кадр Кількість разів, коли крива торкається верхнього або нижнього краю її рамки, дорівнює a, а кількість разів, коли вона торкається лівого або правого краю, дорівнює b — швидкий спосіб прочитати частотне відношення безпосередньо з завершеної фігури, не дивлячись на основні рівняння.

a:b = 1:1   →  ellipse / circle
a:b = 1:2   →  figure-eight-like loop
a:b = 3:4   →  a braided, multi-lobed curve
a:b irrational →  never closes, slowly fills the frame

Реальні машини, які використовували цей трюк

До появи цифрових частотних лічильників інженери використовували фігури Ліссажу на осцилографі для порівняння двох електричних сигналів: подавати один сигнал на горизонтальний вхід, а другий – на вертикальний, і форму цього стабільного патерну безпосередньо розкриває відносну частоту та фазову різницю між ними, не потребуючи жодних обчислень. Ця техніка — порівняння фаз Ліссажу — була стандартною практикою в радіо- та аудіотехніці десятиліттями і досі викладається, оскільки їй не потрібне жодне цифрове оброблення – лише два сигнали та екран з електронним променем або, тепер, програмне забезпечення, що емулює один.

Чому візерунок здається, що обертається або зміщується

Якщо дві частоти близькі, але не точно відповідають простому співвідношенню, то отримане зображення здається, що повільно обертається або змінюється з часом, прокладаючи плавно змінюючий послідовність пов'язаних форм замість того, щоб застигнути в одній фіксованій кривій. Це відбувається тому, що фазіологічна залежність між двома осциляторами не залишається стабільною, а повільно зміщується, і спостерігання цього повільного зсуву є чутливим способом виявити мілісну невідповідність частот між двома осциляторами, які в іншому випадку майже ідентичні, задовго до того, як ця невідповідність стала б помітною на вухо чи око в кожному сигналі окремо.

Це явище є наслідком неточного узгодження фаз між двома осциляторами. Зміна фази призводить до зміни форми зображення з часом, що проявляється як повільний обертання або зміщення.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Lissajous і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.