Ruch Wahadła: Geometria Ruchu Harmonicznego

Dwa wahadła pod kątem prostym

Figurę Lissajousa stanowi trajektoria śladu punktu, którego położenie poziome podąża za jedną funkcją sinusową, a położenie pionowe za drugą, niezależną funkcją sinusową, w tym samym czasie. Najprostszym sposobem na wyobrażenie sobie tego jest: wyobraź sobie wahadło oscylujące w lewo i w prawo oraz inne wahadło oscylujące do przodu i do tyłu jednocześnie, pod kątem prostym do siebie. Śledź połączoną ruchomość i, w zależności od relacji ich częstotliwości i przesunięć fazowych, uzyskasz wszystko – od prostej elipsy po skomplikowany splótany węzeł.

x(t) = A · sin(a·t + δ) y(t) = B · sin(b·t) A, B amplitudy (pozioma / pionowa) a, b częstotliwości kątowe δ przesunięcie fazowe między dwoma drganiami

live demo · x i y napędzane niezależnymi funkcjami sinusowymi● ŻYWO Te krzywe oznaczono imieniem Julesa Antoine’a Lissajousa, francuskiego fizyka, który badał je w latach 50. XIX wieku za pomocą sprytnego układu optycznego: odbijał wiązkę światła od dwóch luster, każde z nich przymocowane do rezonansowego drgańca oscylującego pod kątem prostym do drugiego, a następnie fotografował powstały wzór na ekranie. Podobny wzór opisał wcześniej amerykański matematyk Nathaniel Bowditch w 1815 roku, dlatego krzywe te czasami nazywane są również krzywymi Bowditcha.

x(t) = A · sin(a·t + δ)
y(t) = B · sin(b·t)

A, B    amplitudes (horizontal / vertical)
a, b    angular frequencies
δ       phase offset between the two oscillations

Stosunek częstotliwości decyduje o kształcie

Najważniejszym, najbardziej istotnym parametrem w wykresie Lissajousa jest stosunek a:b dwóch częstotliwości. Kiedy ten stosunek jest prostą ułamkową małych liczb całkowitych – 1:1, 1:2, 2:3, 3:4 – krzywa zamyka się na siebie w stabilny, powtarzalny kształt po skończonym czasie, ponieważ obie oscylacje ostatecznie wracają do dokładnego stosunku początkowego. Stosunek 1:1 rysuje elipsę (okrąg, jeśli przesunięcie fazowe wynosi 90° i amplitudy są równe); stosunek 1:2 rysuje kształt przypominający lewą stronę ósemki lub parabolę; wyższe stosunki tworzą coraz bardziej skomplikowane, splocie wzory. Jeśli stosunek jest niewymierny – nie można go wyrazić jako ułamka liczb całkowitych – krzywa nigdy się dokładnie nie powtarza i zamiast tego powoli wypełnia cały obszar, w którym jest ograniczona, gęsty, wypełniający przestrzeń tor zwany ruciem quasiperyodycznym.

a:b = 1:1 → elipsa / okrąg a:b = 1:2 → pętla przypominająca ósemkę a:b = 3:4 → splocie, wielołukowy krzywy tor a:b niewymierny → nigdy się nie zamyka, powoli wypełnia kadr

a:b = 1:1   →  ellipse / circle
a:b = 1:2   →  figure-eight-like loop
a:b = 3:4   →  a braided, multi-lobed curve
a:b irrational →  never closes, slowly fills the frame

Rzeczywiste maszyny, które wykorzystywały dokładnie ten trik

Przed powszechnym dostępem do cyfrowych liczników częstotliwości inżynierowie używali wykresów Lissajous na oscyloskopie do porównywania dwóch sygnałów elektrycznych: podawali jeden sygnał do wejścia poziomego, a drugi do wejścia pionowego, a stabilny kształt powstałego wzoru bezpośrednio ujawniał stosunek częstotliwości i różnicę fazową między nimi, bez konieczności kalkulacji. Ta technika – nazywana porównaniem faz Lissajousa – była standardem w inżynierii radiowej i audio przez dziesiątki lat i nadal jest uczyana, ponieważ nie wymaga żadnych procesorów cyfrowych, jedynie dwa sygnały i ekran z wiązką elektronową lub, obecnie, oprogramowanie symulujące taki ekran.

Dlaczego wzór wydaje się obracać lub przesuwać

Jeśli obie częstotliwości są bliskie, ale nie dokładnie, prostego stosunku, otrzymany wzorzec wydaje się powoli obracać lub zmieniać kształt w czasie, śledząc płynnie zmieniającą się sekwencję powiązanych kształtów zamiast ustalać się w jednej stałej krzywej. Zjawisko to wynika z tego, że relacja fazowa między dwoma oscylatorami nie utrzymuje się w stanie zablokowania, a zamiast tego powoli przesuwa się; obserwowanie tego wolnego przesunięcia jest samo w sobie wrażliwy sposób na wykrycie niewielkiej różnicy częstotliwości między dwoma oscylatorami, które w przeciwnym razie byłyby niemal identyczne, jeszcze zanim ta różnica byłaby zauważalna słuchowo lub wzrokowo w każdym z sygnałów osobno.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Lissajous i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.