Projectile Motion: Mastering the Path of a Launched Object

Кристал – це величезний мережевий комплекс взаємопов’язаних пружин

Атоми в твердому тілі не застиглі на місці — вони знаходяться в потенціальній енергетичній ямі, створеній зв’язками з їхніми сусідами та постійно коливаються навколо своїх рівноважних положень. Згідно з першою апроксимацією, кожен зв'язок поводиться як невелика пружина, яка підкоряється закону Гука, тому кристал механічно є величезним тривимірним мережевим комплектом мас, з’єднаних пружинами. Перемістіть один атом і його рух пов’язаний з його сусідами через ці пружини, рух сусідів пов'язаний із наступним шаром атомів, і пошкодження поширюється в кристалічній решітці як хвиля.

Одноатомна ланцюг та його розсіювальна відношення

Найпростіший модель – це одновимірний ланцюг однакових мас m, з’єднаних однаковими пружинами жорсткістю K, розташованими на відстань a один від одного. Застосовуючи друге закон Ньютона для одного атома в термінах зрушень його сусідніх атомів та шукаючи розв'язки у вигляді хвильових процесів, отримуємо пряму залежність між хвильовим вектором (k) режиму та його кутовою частотою (omega) – розсіювальне відношення:

omega(k) = 2 * sqrt(K/m) * |sin(k*a/2)| (одноатомний ланцюг, одна гілка) Коли k мале (довга хвильова довжина): omega ≈ a*sqrt(K/m) * k -- лінійна, як звук k = pi/a (зона межі): omega досягає максимуму, група швидкості = 0 При великих довжинах хвилі це спрощується до лінійної залежності між частотою та хвильовим вектором, точно як звичайна звукова хвиля, із сталою пропорційності, що дорівнює швидкості звуку в матеріалі. Поруч із межею першої Брілюовської зони крива вигинається та стає плоскішою – сусідні атоми опиняються в русі абсолютно протилежних напрямків, група швидкості падає до нуля і хвиля припиняє поширення енергії через решітку.

omega(k) = 2 * sqrt(K/m) * |sin(k*a/2)|      (monatomic chain, one branch)

small k (long wavelength):  omega =~ a*sqrt(K/m) * k     -- linear, like sound
k = pi/a (zone boundary):   omega reaches its maximum, group velocity = 0

Квантизація вібрації: представлення фонона

Кожен вібраційний режим кристалічної решітки, який розглядається квантовомеханічно, поводиться як квантовий гармонійний осцилятор, і його енергія приходить у вигляді дискретних кроків – h-bar помножене на омега, а не змінюється безперервно. Фонові просто називають один квант вібраційної енергії в певному режимі — це не фізична частинка, яка могла б існувати за межами кристала, а бухгалтерський об’єкт (квантова збуджена частинка), який поводиться як одна у всіх розрахунках, що мають значення: фонони переносять імпульс, зіштовхуються один з одним, з електронами та з дефектами кристалу і підкоряються статистиці Bose-Einstein, як і фотони. Більше того, майже весь тепловий транспорт, теплорозширення та значна частина електричного опору у звичайних металах в кінцевому підсумку залежить від підрахунку та відстеження популяцій фононів та їх зіткнень.

Дві атоми на клітинку: акустична та оптична гілки

Реальні кристали, такі як натрій хлорид або галій арсенід, мають два різні типи атомів у кожній повторюваній клітині, і картина розсіювання з двома гілками розділяється на дві. В акустичній гілці обидва атоми в клітинці рухаються практично разом, синхронно, як моноатомна ланцюг – однакова колективна звукова хвиля. В оптичній гілці два атоми рухаються протилежно один до одного, з вибіркою фази, количають навколо спільного центру мас навіть при довгих довжинах хвиль. Якщо два типи атомів несуть протилежні заряди – як у іонному кристалі – це вибіркове рух створює коливальний електричний диполь, який може безпосередньо зв’язатися з електромагнітною хвилею відповідної частоти, що й пояснює назву гілки: це режим, відповідальний за сильне інфрачервоне поглинання та відбиття кристала.

діатомова ланцюг, маси m1 і m2, константа пружини K: Aкустична гілка: починається при ω = 0 для k = 0, атоми рухаються синхронно Оптична гілка: починається з ненульового ω для k = 0, атоми рухаються протилежно один до одного навколо спільного центру мас

diatomic chain, masses m1 and m2, spring constant K:

acoustic branch:   starts at omega = 0 for k = 0, atoms move in phase
optical branch:    starts at a nonzero omega for k = 0, atoms move
                    out of phase against each other

a frequency GAP separates the top of the acoustic branch from the
bottom of the optical branch -- no lattice wave can exist in that
gap, regardless of k

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Lattice Vibrations and Phonons і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.