Wibracje Sieci i Fonony: Kwantyzowany Dźwięk Kryształu

Kryształ to gigantyczna sieć połączonych sprężyn

Atomy w ciele stałym nie są zamrożone w miejscu – zajmują one potencjalne wykopanie stworzone przez wiązania z ich sąsiadami i stale drżą wokół swoich pozycji równowagi. Zgodnie z przybliżeniem pierwszym, każde wiązanie zachowuje się jak mała sprężyna przestrzegającą prawa Hooke’a, więc kryształ mechanicznie jest rozległą trójwymiarową siecią mas połączonych sprężynami. Przesuń jeden atom i jego ruch współdziała z sąsiadami przez te sprężyny, ruch następnej warstwy atomów będzie współdziałał z kolejnym wykopaniem, a zaburzenie rozprzestrzeni się w sieci jako fala.

Monotaktyczny łańcuch i jego zależność rozproszona

Najprostszą modyfikacją jest jednowymiarowy łańcuch identycznych mas m połączonych identycznymi sprężynami o sztywności K, rozmieszczony w odstępach a. Zapis praw trzeciego Newtona dla jednego atomu w terminie względem przesunięć sąsiednich atomów i poszukiwanie rozwiązań postaci falowej daje bezpośrednią zależność między współczynnikiem fali trybu k a częstotliwością kątową omega – zależnością rozproszoną:

omega(k) = 2 * sqrt(K/m) * |sin(k*a/2)| (łańcuch monotaktyczny, jedna gałąź) small k (długa faza): omega =~ a*sqrt(K/m) * k -- liniowa, jak w przypadku dźwięku k = pi/a (granica strefy): omega osiąga swoje maksimum, prędkość grupy wynosi 0 Przy długich falach redukuje się to do liniowej relacji między częstotliwością a współczynnikiem fali, dokładnie jak zwykła fala dźwiękowa, z stałą proporcjonalności równą prędkości dźwięcznej materiału. W pobliżu krawędzi pierwszej strefy Brillouin krzywa wygina się i spłaszcza – sąsiednie atomy znajdują się w dokładnie przeciwnych kierunkach, prędkość grupy spada do zera a fala przestaje propagować energię przez siatkę.

omega(k) = 2 * sqrt(K/m) * |sin(k*a/2)|      (monatomic chain, one branch)

small k (long wavelength):  omega =~ a*sqrt(K/m) * k     -- linear, like sound
k = pi/a (zone boundary):   omega reaches its maximum, group velocity = 0

Kwantyzacja drgania: wprowadź fonon

Każdy tryb wibracyjny sieci krystalicznej, traktowany mechanicznie kwantowo, zachowuje się jak oscylator harmoniczny kwantowy, a jego energia przyjmowana jest dyskretnymi wartościami o wielkości h-bar razy omega zamiast ciągle zmieniać się. Fonon to po prostu nazwa nadana jednemu kwantowi energii wibracyjnej w danym trybie – nie jest to fizyczna cząstka, która mogłaby istnieć poza kryształem, ale jednostka rachunkowa (pseudocząsteczka), która zachowuje się jak taka we wszystkich obliczeniach, które mają znaczenie: fonony przenoszą pęd, rozpraszają się na siebie, na elektrony i na defekty krystaliczne oraz poddają się prawom statystyki Bose-Einstein tak jak fotony. Wprawdzie niemal cała transport ciepła, rozszerzalność cieplna i duża część oporu elektrycznego w zwykłych metalach ostatecznie sprowadza się do liczenia i śledzenia populacji fononów oraz ich zderzeń.

Dwie rodzaje atomów w komórce: gałęzie akustyczna i optyczna

Prawdziwe kryształy, takie jak chlorek sodu lub krzem arsenowy, posiadają dwa różne typy atomów w każdej powtarzającej się jednostce komórki, co powoduje podział obrazu rozpraszania jednowymiarowego na dwie gałęzie. W gałęzi akustycznej oba atomy w komórce poruszają się zasadniczo razem, w fazie, taka sama kolektywna ruchomość przypominająca łańcuch atomowy. W gałęzi optycznej atomy poruszają się względem siebie, z opóźnieniem, oscylując wokół ich wspólnego środka masy nawet przy długich fali. Jeśli dwa typy atomów niosą przeciwko sobie ładunek – jak w kryształu jonowym – to ruch z opóźnieniem tworzy oscylujący dipol elektryczny, który może bezpośrednio sprzężyć się z falą elektromagnetyczną o dopasowanej częstotliwości, co dokładnie wyjaśnia nazwę gałęzi – jest to tryb odpowiedzialny za silne absorpcje i odbicia podczerwone kryształów.

Diatomowy łańcuch, masy m1 i m2, stały sprężystości K: gałąź akustyczna: rozpoczyna się przy ω = 0 dla k = 0, atomy poruszają się w fazie gołąź optyczna: rozpoczyna się przy niezerowej ω dla k = 0, atomy poruszają się przeciwnie do siebie, z opóźnieniem względem siebie Istnieje przerwę częstotliwościową oddzielającą szczyt gałęzi akustycznej od dolnego brzegu gałęzi optycznej – żaden fala sieci nie może istnieć w tym paśmie, niezależnie od k Między szczytem gałęzi akustycznej a dolnym brzegiem gałęzi optycznej znajduje się zabroniony przerwany pas częstotliwościowy, w którym nie występuje żadna rozchodząca się fala sieci dla żadnego wektora falowego – bezpośrednia analogia do pasma energetycznego oddzielającego pasmo walencyjne i pasmo przewodzące półprzewodnika, wynikające z tej samej podstawowej okresowości kryształu.

diatomic chain, masses m1 and m2, spring constant K:

acoustic branch:   starts at omega = 0 for k = 0, atoms move in phase
optical branch:    starts at a nonzero omega for k = 0, atoms move
                    out of phase against each other

a frequency GAP separates the top of the acoustic branch from the
bottom of the optical branch -- no lattice wave can exist in that
gap, regardless of k

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Lattice Vibrations and Phonons i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.