Закони Кірхгофа: Закони збереження для кожної схеми

Два закони збереження, один ланцюг

Кожен симулятор електричних кіл, від ручного розрахунку до повноцінного програмного забезпечення SPICE, в кінцевому підсумку базується на двох правилах, які написав Густав Кірхгофф у 1845 році, коли ще був студентом. Це не наближення – це точні твердження про збереження заряду та збереження енергії, застосовані до електричної мережі, і разом вони достатньо для розрахунку будь-якої напруги та струму в ланцюзі будь-якої складності.

Закон Ома

Закон Ома (ЗО) стверджує, що сума значущих струмів, що входять у будь-яку точку ланцюга, дорівнює сумі значущих струмів, що виходять з цієї точки – тобто підписана сума всіх струмів в точці дорівнює нулю. Це закон збереження електричного заряду: заряд не може накопичуватися або зникнути на роз’ємі, тому будь-який струм, який протікає в даний момент, повинен витікати в той же момент.

sum(I_in) = sum(I_out)        at every node
equivalently:  sum(I_k) = 0    (currents leaving the node taken as positive)

Закон напряження Кірхгофа

Закон напряження Кірхгофа (ЗНК) стверджує, що сума значень електричних потенціалів при переході по будь-якому замкненому ланцюзі дорівнює нулю. Це закон збереження енергії: якщо ви йдете по будь-якому замкнутому ланцюгу та додаєте всі прибутки та збитки електричного потенціалу, ви повинні повернутися в саме те місце, де почали, оскільки потенціал є добре визначеною функцією положення.

∑V_k = 0 по будь-якому замкненому ланцюгу (прибуток позитивний, збиток негативний, узгоджена напрямкова) ЗНК та ЗНК не є незалежними трюками - вони випливають з рівнянь Максвелла в квазістатичній межі (частоти недостатньо високі, або довжини хвиль достатньо великі порівняно з ланцюгом, щоб ігнорувати затримку та радіацію передачі). ЗНК - це закон Гаусса застосований до невеликого об'єму навколо вузла без накопичення заряду; ЗНК - це закон Фарадея застосований до петлі з незначним змінним магнітним потоком через неї. При радіочастотах, коли розміри ланцюга стають порівняними з довжиною хвилі, ця квазістатична припущення руйнується і потрібен повний аналіз транзивної лінії або електромагнітного поля замість цього.

sum(V_k) = 0    around any closed loop (rises positive, drops negative, consistent direction)

Розв’язування законів електрики за допомогою матриць

Ручним способом, використовуючи Кетве та Кірхофів закони, ви можете записати достатньо незалежних рівнянь для розв’язання будь-якої схеми, але сучасні рішення формалізують цей процес як Змінений Нодальний Аналіз (ЗНА), який використовується всередині SPICE та всіх його похідних. ЗНА вважає напругу кожного вузла (відносно опорного вузла землі) невідомою, записує одну рівняння Кетве для кожного вузла – сума струмів, що виходять через кожен резистор, конденсатор та джерело, з’єднане з ним, повинна дорівнювати нулю – і складає всі ці рівняння в один лінійний систем G·V = I, де G є матрицею провідності, V - вектор невідомих напруг вузлів, а I - вектор відомих струмів джерел.

Для кожного двополюсного елемента між вузлами i та j з провідністю g: G[i][i] += g; G[j][j] += g G[i][j] -= g; G[j][i] -= g // це ‘штампування’ # незалежні струмові джерела додаються безпосередньо до вектора I; # напругові джерела потребують додаткової невідомої (власного струму) та додаткового рівняння Кірхофа для цього джерела - саме тому аналіз виконується ‘Змінений’ розв’язати G * V = I за V Цей елемент-за-елементом ‘штампування’ процедура робить ЗНА практичною для автоматизованих інструментів: кожен компонент взаємодіє лише з рядками та стовпцями вузлів, до яких він підключений, тому побудова системи для схеми з тисячами компонентів - це просто тисяча невеликих локальних додавань по чотири елементи до щільної матриці, за якою слідує розв’язок одного лінійного рівняння. Реактивні елементи (конденсатори, індуктори) обробляються шляхом дискретизації їхньої диференціальної залежності струму-напруги в часі та складання результату у вищезгадану форму матриці провідності на кожному кроці моделювання часу; аналіз постійного струму замінює дійсну провідність кожного елемента на його комплексне імпеданс і розв’язує той самий лінійний систем з комплексними числами.

for each two-terminal element between nodes i and j with conductance g:
    G[i][i] += g;   G[j][j] += g
    G[i][j] -= g;   G[j][i] -= g     // this is the "stamp"
# independent current sources add directly to the I vector;
# voltage sources need an extra unknown (their own current) and an extra KVL row - hence "Modified" nodal analysis
solve  G * V = I   for V

Розв’язано: два резистори та джерело

Для простої послідовної схеми – джерела напруги 12В, що живить два резистори R1 та R2 – рівняння Кірхгофа для замкнутих ланцюгів (КЗЛ) навколо єдиного контуру дає 12 = I * R1 + I * R2, отже, I = 12 / (R1 + R2) безпосередньо. Для схеми з точкою розгалуження, наприклад, резистор R1 від джерела до середнього вузла, а потім R2 та R3 паралельно від цього вузла до землі, рівняння Кірхгофа для струмів (РКС) у середньому вузлі стверджує, що струм, що входить через R1, дорівнює сумі струмів, що виходять через R2 та R3, що дає одну задачу з однією невідомою напругою на вузлі, яку, розв’язавши, ви отримаєте всі струми в схемі відповідно до закону Ома.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Kirchhoff Laws і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.