Zasady Obwodu Kirchhoffa: Prawo Zachowania dla Każdego Obwodu

Dwa prawa zachowania, jeden obwód

Każdy symulator obwodów, od ręcznego liczenia na papierze po pełne oprogramowanie SPICE, w ostatecznym rozrachunku opiera się na dwóch zasadach Gustav Kirchhoffa, które z napisałem w 1845 roku, jeszcze jako student. Nie są to przybliżenia – to dokładne stwierdzenia dotyczące zachowania ładunku i energii w sieci elektrycznej oraz wystarczają do rozwiązania dla każdej wartości napięcia i prądu w obwodzie o dowolnej złożoności.

Prawo Kirchhoffa dotyczące prądów

Prawo Kirchhoffa dotyczące prądów (KCL) mówi, że suma prądów płynących do dowolnego węzła równa się sumie prądów wypływających z tego węzła – co odpowiada wzorowi, w którym suma znaków prądów na węźle jest równa zero. Jest to zachowanie ładunku: ładunek nie może gromadzić się ani zanikać na styku, więc wszystko, co płynie w tym momencie, musi wypłynąć w tym samym czasie.

sum(I_in) = sum(I_out)        at every node
equivalently:  sum(I_k) = 0    (currents leaving the node taken as positive)

Prawo Kirchhoffa dotyczące Napięcia

Prawo Kirchhoffa dotyczące Napięcia (PKN) mówi, że suma napięć wzmagań i spadków w dowolnym zamkniętym obwodzie wynosi zero. Jest to zasada zachowania energii: jeśli przejdziemy przez cały obwód i zsumujemy wszystkie przybycie i odejścia potencjału elektrycznego, musimy wrócić do dokładnie tego punktu, na którym zaczęliśmy, ponieważ potencjał jest funkcją położenia. Zastosowanie PKN pozwala rozwiązać problemy z układami obwodów.

∑V_k = 0 w dowolnym zamkniętym obwodzie (wzmagań dodatnie, spadków ujemne, spójna kierunek) PKN i KWL nie są niezależnymi sztuczkami – wynikają one z równań Maxwella w quasi-statycznym ograniczeniu (częstotliwości zbyt niskie lub długości fali w porównaniu z obwodem, tak aby pomijać opóźnienia propagacji i promieniowanie). KWL jest analogiczne do prawa Ohma, a PKN jest wykorzystywane do analizy bardziej złożonych obwodów.

KCL i KVL nie są niezależnymi sztuczkami – wynikają one z równań Maxwella w quasi-statycznym ograniczeniu (częstotliwości zbyt niskie lub długości fali w porównaniu z obwodem, tak aby pomijać opóźnienia propagacji i promieniowanie). KWL jest analogiczne do prawa Ohma, a PKN jest wykorzystywane do analizy bardziej złożonych obwodów.

sum(V_k) = 0    around any closed loop (rises positive, drops negative, consistent direction)

Przekształcanie praw fizyki w rozwiązywalną macierz

Ręczne metody, takie jak KCL i KVL, pozwalają napisać wystarczającą liczbę niezależnych równań do rozwiązania dowolnego obwodu, jednak nowoczesne programy symulacyjne formalizują ten proces jako Analizę Nodalną Zmodyfikowaną (ANZ), technikę wykorzystywaną w SPICE i wszystkich jego pochodnych. ANZ traktuje napięcie na każdym węźle (względem punktu odniesienia – węzła uziemienia) jako niewiadomą, zapisuje jedno równanie KCL na węzeł – suma prądów opuszczających przez rezystory, kondensatory i źródła z tego węzła musi być równa zero – i gromadzi wszystkie te równania w jednym układzie liniowym G·V = I, gdzie G jest macierzą przewodności, V wektorem niewiadomych napięć na węzłach, a I wektorem znanych źródeł prądu.

Dla każdego elementu dwuprzewodowego pomiędzy węzłami i i j o przewodności g: G[i][i] += g; G[j][j] += g G[i][j] -= g; G[j][i] -= g // to jest "odciskiwanie" # Niezależne źródła prądu dodawane są bezpośrednio do wektora I; # Źródła napięciowe wymagają dodatkowej niewiadomej (własnego prądu) i dodatkowego równania KVL – dlatego analizę nazywa się "Zmodyfikowaną" nodalną. rozwiąż G * V = I dla V Ta procedura element po elemencie "odciskująca" sprawia, że ANZ jest praktyczna dla narzędzi automatycznych: każdy komponent dotyka jedynie wierszy i kolumn węzłów, do których jest podłączony, więc budowa systemu dla obwodu z tysiącami elementów to po prostu tysiące małych, lokalnych dodawania czteroelementowych do macierzy o rzadkiej strukturze, a następnie jedno rozwiązanie układu liniowego. Elementy reaktancyjne (kondensatory, cewki) są obsługiwane poprzez dyskretyzację ich różniczkowej zależności prąd-napięcie w czasie i składanie jej w tę samą formę macierzy przewodności o rzadkiej strukturze w każdym kroku symulacji czasowej; analiza AC zamiast tego zastępuje rzeczywistą przewodność każdego elementu jego impedancją złożoną i rozwiązuje ten sam układ liniowy z liczbami zespolonymi.

for each two-terminal element between nodes i and j with conductance g:
    G[i][i] += g;   G[j][j] += g
    G[i][j] -= g;   G[j][i] -= g     // this is the "stamp"
# independent current sources add directly to the I vector;
# voltage sources need an extra unknown (their own current) and an extra KVL row - hence "Modified" nodal analysis
solve  G * V = I   for V

Przykładowe rozwiązanie: dwa rezystory i źródło

Dla prostego obwodu szeregowego – źródła 12V napędzającego dwa rezystory R1 i R2 w szeregu – prawo Kirchhoffa dla obwodów zamkniętych (KVL) wokół pojedynczego pętli daje 12 = I * R1 + I * R2, więc I = 12 / (R1 + R2) można obliczyć bezpośrednio. Dla obwodu z rozgałęzieniem, np. rezystor R1 od źródła do środkowego węzła, a następnie R2 i R3 w szereg od tego węzła do masy, prawo Kirchhoffa dla prądów (KCL) w tym środkowym węźle stwierdza, że prąd wprowadzony przez R1 jest równy sumie prądów opuszczających przez R2 i R3, co daje jedno równanie z jedną niewiadomą napięciem na węźle, które po rozwiązaniu pozwala określić wszystkie prądy w obwodzie zgodnie z prawem Ohma.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Kirchhoff Laws i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.