Поліhedra Кеплера-Пірсонет: Чотири регулярні поліедри, про які ніхто не підозрював

Чотири останні регулярні багатогранники

Крім п’яти випуклих Платонових многогранників, існує ще чотири форми, які задовольняють суворому визначенню регулярного багатогранника — кожна грань є конгруентним правильним багатокутником, кожен вершина оточена ідентично — але лише якщо дозволено самоперетину граней та фігур вершин. Це Кельберівські многогранники: малий зорясто-зірчастий додекаедр та великий додекаедр, знайдені Йоганном Кеплером у 1619 році, а також великий зорясто-зірчастий додекаедр та велику ікосаферу. Разом із п’ятьма Платоновими многогранниками вони завершують повний перелік регулярних багатогранників — Каші в 1813 році довів, що більше не існує.

Зірки-зірвані: розширення граней до зустрічі

Кеплер побудував свої два тверді тіла за допомогою зірвання — розширення граней платонового тіла назовріт у плоскі грани, поки вони не перетнуться знову далеко від початкового тіла, утворюючи зоряні точки. Зірване регулярне додекаедр із його дванадцяти пентаценових граней назовріть і вони зустрічаються, щоб сформувати дванадцять пересічних п’ятикутних зірок (малий зірваний додекаедр). Подальше зірвання, використовуючи інше правило розширення, дає великий зірваний додекаедр. Оскільки діагональ пентаценової грані ділить сторону у пропорції золотого відношення, кожен із цих тіл побудований повністю з вимірювань, що масштабуються на φ — однакова константа, яка керує спіраллю золотого відношення, також виявляється геометричним скелетом кожної зірки-поліедра.

dodecahedron (12 pentagon faces)  --stellate-->  small stellated dodecahedron (12 pentagram faces)
icosahedron (20 triangle faces)   --facet----->  great dodecahedron (12 pentagon faces, self-intersecting)
                                    --stellate-->  great stellated dodecahedron (12 pentagram faces)
                                    --facet----->  great icosahedron (20 triangle faces, self-intersecting)

Формування граней: інша половина пари

Великий додекаедр і великийicosaедр насправді не мають зірочкового оформлення — вони будуються шляхом формування граней, що є їхнім дуалом: зберігається початкове розташування вершин icosaедра, але вони з'єднуються різними наборами більших граней, які проходять через внутрішню частину твердого тіла. Великий додекаедр використовує 12 вершин icosaедра як центри 12 перетинуючихся пентаграм; великий icosaедр повторно використовує 12 вершин додекаедра з 20 великими перетинуючимися трикутниками. Зірочкове оформлення розширює грані відносно існуючого твердого тіла, а формування повертає існуючі вершини з новими, самопересічними гранями — два структурно різні шляхи, які випадково потрапляють у короткий список з чотирьох форм.

Чому V – E + F ≠ 2 тут

Жоден із чотирьох Kepler-Poinsot твердів не задовольняє звичайній формулі Ейлера V − E + F = 2, як зазначено в супутньому тексті на цю тему. Наприклад, невелика зіркова додекаедр має 12 вершин, 30 ребер і 12 граней: 12 − 30 + 12 = -6. Причина полягає в тому, що доведення простої плоскої графу V − E + F = 2 припускає, що поверхню поліедра можна розгладити без перетину граней — це вірно для будь-якого опуклого твердого тіла, але не тут, оскільки пентаграмні грані проходять через тіло та перетинаються одна з одною. Правильне узагальнення замінює просте число граней на щільність d, кількість разів, якби грані обвивалися навколо центру (d = 3 для невелика зіркова додекаедр), що дає виправлене співвідношення V − E + dF = 2 для цих самопересічних твердів.

Двоїсть, що їх поєднує

Як і платоновські багатогранники, чотири багатогранники Кеплера-Пойнсота приходять у двоїстих парах: міняйте кожне грань на вершину та кожну вершину на грань, і один багатогранник перетворюється на інший. Малий зоряний додекаедр є двоелементом великого додекаедра, а великий зоряний додекаедр є двоелементом великої ікосидомери. Це точно відображає те, як куб та октаедр або додекаедр та ікосинедром є платонівськими двоїнами один одного – одна й та сама операція двоїстості, застосована до неконвексної, самопересічної початкової форми.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Kepler-Poinsot Star Polyhedra і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.