Ісламські геометричні візерунки: компас, лінійка та плитки Ґіріх

Все починається з кола

З приблизно 8-го століття геометричний орнамент став одним із домінуючих мов дизайну в ісламському світі,appearing on mosques, madrasas, palaces and manuscripts from Spain to Central Asia. The patterns are built almost entirely with compass and straightedge, starting from a circle divided into equally spaced points. Connecting those points in different ways — skipping one, skipping two, skipping three — generates the whole family of star shapes that anchor the design, before the pattern is extended by translation and rotation to tile an entire wall or ceiling.

Ці візерунки базуються на простих геометричних принципах: коло, пряма лінія та зірка. Використання компаса та прямої відкладної лінії дозволяло майстрам створювати складні та витончені орнаменти, які зустрічаються в архітектурі, рукописному щоденнику та інших предметах мистецтва.

Полігони зір: конструкція {n/k}

Полігон зір описується двома числами, записаними {n/k}: розмістіть n точок рівномірно навколо кола, а потім з’єднайте кожну k-ту точку в порядку до повернення до початку. Найбільш поширені ісламські полігони зір — {8/3} (восьмипроменева зірка), {10/3} та {12/5}. Оскільки k і n не мають спільних дільників, з’єднувальна лінія відвідує кожну точку рівно один раз, прокладаючи єдиний безперервний, самоперетинається шлях замість кількох окремих полігонів.

for i in 0..n-1:
    angle_i = 2*pi * i / n
    point_i = (cos(angle_i), sin(angle_i))

connect point_i to point_(i+k mod n), for every i   // the {n/k} star

{8/3}: 8 points, skip 3 each time  → classic 8-pointed rosette
{10/3}: 10 points, skip 3 each time → decagonal star, very common
gcd(n,k) must equal 1, or the path splits into gcd(n,k) separate loops

Від однієї зірки до нескінченного візерунка

Одинозна зірка – лише насіння. Майстер ретельно обгортає її сіткою другорядних точок — часто це вершини багатокутника, що з’єднує проміжки між точками зірки — і повторює цю саму конструкцію навколо кожної з них, потім обрізає кожен сегмент прямої лінії до фіксованої довжини так, щоб зірки та багатокутники, що їх оточують, перепліталися без зазорів. Оскільки основна сітка точок є періодичною (зазвичай базується на квадраті, трикутному або шестигранному шаблоні), весь візерунок може, в принципі, розгортатися назавжди, повторюючись одним із 17 груп симетрії шпалер. Яку саме групу симетрії використовує візерунок, можна визначити лише за його обертальними та дзеркальними симетріями, незалежно від конкретних форм зірок, які намальовані всередині нього.

Гірішні плитки: швидкий спосіб роботи

Пізніше ремісники, починаючи приблизно з 12 століття, розробили швидший метод, який уникнув перемальовування конструкції компаса для кожного плашту: набір з п’яти багатокутників, що відповідають краям – регулярний десятигранник, пентагон, шестигранник, розширений шестигранник (боувія) та рівобОкутна п’ятнадцять – кожен з яких був позначений прямими лінійками, названими гіріш (перською «вузол»). Ремісник міг укласти стіну цими п’ятима формами одна до одної, збігаючи лінії по краях кожного шва, а потім намалювати лише лінії-показники в кінцевому творі, залишаючи підкладні форми плиток непомітними. Результатом є один безперервний переплетеній поясок, незважаючи на те, що він був зібраний з невеликого, багаторазово використовуваного набору частин.

Відкриття 2007 року: прото-квантові кристали

У 2007 році фізики Петер Лу та Пол Штайнхарт проаналізували візерунки «гіріш» на будівлях, зокрема в мечеті Дарб-і Імам у Ісфахані (будова 1453 року), і виявили, що деякі з цих укладок використовують правила поділу, які відповідають математиці, що лежить в основі плитування Пенроуза — неперіодичного, квантово-периодичного візерунка, який не був формально описаний на Заході до 1970-х років. Це свідчить про те, що деякі середньовічні ремісники, шляхом чисто геометричних експериментів і вдосконалень, виявили принципи квантової періодичності за кілька століть до того, як вони були зрозумілі математично, хоча ця квантова техніка була одним спеціалізованим напрямком у ширшій традиції, яка переважно залишалася періодичною.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Islamic Geometric Patterns і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.