Ходжкін-Гакслі: Рівняння, що стоять за нервовою імпульсом

Membrana kao električna цепь

У 1952 році Алан Ходжкін та Андрю Хакслі опублікували модель великого аксону кальмара, побудовану на основі простої фізичної ідеї: мембрана клітини, як тонкий ізоляційний шар, що відокремлює заряд, поводиться як конденсатор із ємністю Cm ≈ 1 мкФ/см². У ній вбудовані йонні канали — білки, які відкриваються та закриваються у відповідь на напругу — які поводяться як резистори з напругою залежності. Драйв-фактор для кожного іонного виду є різницею між мембранним потенціалом V та власним рівноважним потенціалом (Нернста) E. Об'єднавши ці елементи, мембранний потенціал дотримується рівняння балансу струму:

C_m·dV/dt = I_ext − I_Na − I_K − I_L I_Na = g_Na·m³h·(V − E_Na) // натрійний струм I_K = g_K·n⁴·(V − E_K) // потенційний струм I_L = g_L·(V − E_L) // струм витоку Ходжкін та Хакслі виміряли провідність натрію та калію безпосередньо за допомогою експериментів з вольт-запинанням на великому аксоні кальмара та підібрали числові константи, які сьогодні все ще відтворюють їхні оригінальні результати: Cm = 1 мкФ/см², g_Na = 120, E_Na = +50 мВ, g_K = 36, E_K = −77 мВ, g_L = 0.3, E_L = −54.4 мВ, що дає рівноважний потенціал приблизно -65 мВ.

C_m·dV/dt = I_ext − I_Na − I_K − I_L
I_Na = g_Na·m³h·(V − E_Na)     // sodium current
I_K  = g_K·n⁴·(V − E_K)        // potassium current
I_L  = g_L·(V − E_L)           // leak current

Чотири закореновані рівняння, три ворота

Повна система має одне рівняння для напруги та ще три для змінних регулювання m, h і n — кожна з яких є ймовірністю, від 0 до 1, того, що певний воріт у білковому каналі іона відкритий. Канал натрію потребує трьох воротів m і одного вороту h, які відкриті разом, що дає термін m³h; канал калію потребує чотирьох однакових ворогів n, що дає n⁴. Кожен воріт схиляється до стабільного значення з власною напругою-залежною постійною часу, керованою емпіричними функціями швидкості α(V) і β(V), які відповідають оригінальним даним про закладеність напруги:

dm/dt = α_m(V)(1−m) − β_m(V)·m dh/dt = α_h(V)(1−h) − β_h(V)·h n/dt = α_n(V)(1−n) − β_n(V)·n Ворота h є цікавими: вони починаються переважно відкритими в стані спокою (близько 0,6) і закриваються, коли мембрана деполяризується, обрізаючи натрійний струм і завершуючи спалах, навіть тоді, коли стимул все ще присутній — це те, що робить потенційну дію самообмежувальним імпульсом, а не неконтрольованим стрибком.

dm/dt = α_m(V)(1−m) − β_m(V)·m
dh/dt = α_h(V)(1−h) − β_h(V)·h
dn/dt = α_n(V)(1−n) − β_n(V)·n

Інтеграція жорсткої системи: чому RK4

Спайк триває приблизно мілісекунду, і найшвидша турбіна, m, має константу часу близько 0,1 мс при пороговому значенні — це робочий крок dt = 0,01 мс. Проста інтеграція Ейлера нестабільна в цій системі на цей крок; класичний метод четвертого порядку Runge-Kutta (RK4) обчислює похідну чотири рази за крок і залишається стабільною та точною:

k1 = f(стан) k2 = f(стан + dt/2·k1) k3 = f(стан + dt/2·k2) k4 = f(стан + dt·k3) стан_наступний = стан + dt/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

k1 = f(state)
k2 = f(state + dt/2·k1)
k3 = f(state + dt/2·k2)
k4 = f(state + dt·k3)
state_next = state + dt/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Прискорення нервового імпульсу

Ін'єкція короткого струму призводить до проходження потенціалу дії через характерну послідовність. У стані спокою (≈ −65 мВ) внутрішній потік натрію та зовнішній потік калію збалансовані, при цьому m ≈ 0.05, h ≈ 0.60, n ≈ 0.32.

Під час зростання потенціалу деполяризація майже миттєво відкриває швидкі gates m, що призводить до різкого збільшення надходження натрію та при цьому h залишається відкритим. На піку (+30 до +40 мВ) gate h закривається, обриваючи потік натрію, тоді як повільніші gates n завершують відкриття та починається вихід калію, що викликає реполяризацію.

Підйом відбувається внаслідок повільного закриття gates n, які тимчасово гіперполяризують мембрану нижче рівня спокою, створюючи період відносної непродуктивності, під час якого неможливо викликати другий імпульс. Нижче приблизно −55 мВ стимул просто розсіюється назад до стану спокою; вище він сприймає позитивний зворотний зв’язок між зростаючим напругою та подальшим відкриттям каналів натрію, незалежно від сили стимулу — властивість «все або нічого», яка робить нервовий імпульс справжнім бінарним сигналом.

За межами окремої нейрона

Для створення системи, що містить багато нейронів HH на сітці, використовуючи провідність через мембрани та дифузію, система стає збудливою середовищем, додаючи термін дифузії до рівняння напруги: C_m·∂V/∂t = D∇²V − I_Na − I_K − I_L + I_ext. У двовимірному просторі розірваний плануарний хід може згортуватися у ре-ентраційний спіральний рух – обчислювальна аналогія небезпечних серцевих аритмій, таких як фібриляція передсердь. Для великомасштабних симуляцій тканин повну чотиризмінну модель часто замінюють дво змінною моделлю Фіцуґа-Нагумо, яка зберігає збудливість та структуру розбіжності за значно меншу вартість, а більш детальна робота додає багатокомпонентні дендрити через рівняння кабеля або замінює гладкі ODE на стохастичні Markov-ланцюги відкривання каналів для захоплення шуму каналів поблизу порогу.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.