SIR та SEIR Моделі Епідемій — R₀ та Імунітет Натовпу

Три відсіки, одна закрита популяція

Модель SIR поділяє популяцію фіксованого розміру N на три відсіки, через які проходить кожна людина: Підлеглі (S) — ніколи не хворіли та можуть заразитися; Інфіковані (I) — зараз інфіковані та здатні поширювати хворобу; Видалені (R) — одужали з імунітетом, або померли, будь-яким чином більше не є частиною передачі. Модель ґрунтується на трьох ідеалізаціях: однорідному змішуванні (будь-яка підлегла особистість рівно ймовірно контактує з будь-якою інфікованою особою), закритій популяції (S+I+R = N залишається постійним — без народжень, смертей або міграції) та постійному імунітеті після одужання.

Система диференціальних рівнянь

Нехай β - це швидкість передачі, а γ - швидкість відновлення (1/γ - середній час інфекції). Нові зараження відбуваються з частотою β·S·I/N — термін дії масового впливу залежно від частоти, який підходить, коли швидкість контакту обмежена часом, а не щільністю:

dS/dt = −β·S·I/N
dI/dt =  β·S·I/N − γ·I
dR/dt =  γ·I
// check: dS/dt + dI/dt + dR/dt = 0  ⟹  S+I+R = N stays constant

R₀ та поріг імунітету натовпу

Основне число репродукції R₀ = β/γ – це середній номер вторинних інфекцій, яку викликає одна інфікована особа в повністю схильному населенні. Поруч із початком S ≈ N, dI/dt ≈ (β−γ)·I: епідемія зростає точно тоді, коли R₀ > 1. Ковід-19 з оригінального штаму має R₀ приблизно 2,5–3, сезонне грипне вірусне захворювання – R₀ приблизно 1,2–1,4, а вірус хвороби лавин – R₀ близько 12–18.

Встановлення dI/dt = 0 на піку епідемії дає критичний відсоток схильних осіб S*/N = γ/β = 1/R₀, тому імунний відсоток, необхідний для того, щоб зупинити будь-яке зростання епідемії, – це імунітет натовпу:

h = 1 − 1/R₀
  measles  (R₀=15): h ≈ 93%
  COVID-19 (R₀=3):  h ≈ 67%
  influenza(R₀=1.3):h ≈ 23%

Додавання латентного періоду SEIR

Багато хвороб мають період інкубації, коли людина заражена, але ще не заразна. SEIR вводить розділ "Виявлений" (Exposed) між S і I, керований швидкістю σ = 1/(середній латентний період):

dS/dt = −β·S·I/N dE/dt = β·S·I/N − σ·E dI/dt = σ·E − γ·I dR/dt = γ·I // R₀ = β/γ залишається незмінним — латентний період лише змінює час, а не поріг Четвертий порядок Runge-Kutta (RK4) інтегратор просуває вектор стану [S,E,I,R] на один крок за раз — той самий числовий метод, що використовується в динамічних симуляціях цього сайту, оскільки метод Ейлера занадто неточний для жорсткої, експоненціально зростаючої системи, такої як спалаху.

dS/dt = −β·S·I/N
dE/dt =  β·S·I/N − σ·E
dI/dt =  σ·E − γ·I
dR/dt =  γ·I
// R₀ = β/γ is unchanged — the latent period shifts timing, not the threshold

Застосування моделі SIR до COVID-19

Модель SIR є базовою для розуміння поширення інфекційних захворювань, зокрема COVID-19. Вона описує три основні стани: S - неінфікованих людей, які можуть бути заражені; I - інфікованих людей, які можуть передавати вірус; та R - тих, хто отримав імунітет після перенесеної хвороби або вакцинації.

Початкові параметри моделі SIR визначають швидкість передачі вірусу (β) та швидкість виходу з інфекційного стану (γ). Високе значення β означає, що вірус швидко поширюється, а високе значення γ означає, що люди швидко відновлюються або помирають.

З використанням даних про захворюваність COVID-19, дослідники можуть налаштувати параметри моделі SIR та прогнозувати майбутні тенденції. Наприклад, вони можуть оцінити кількість людей, які будуть заражені, кількість смертей та час, необхідний для досягнення імунного стану в популяції.

Однак, модель SIR є спрощеною та не враховує всі фактори, що впливають на поширення вірусу. Наприклад, вона не враховує зміни в поведінці людей, такі як карантин або носіння масок, а також ефекти вакцинації.

Для більш точного моделювання COVID-19 використовуються складніші моделі, які включають додаткові параметри та фактори. Наприклад, деякі моделі враховують вік, стан здоров'я та географічне розташування людей.

Не дивлячись на обмеження, модель SIR залишається цінним інструментом для розуміння та прогнозування поширення інфекційних захворювань.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.