Класична модель Гейзенберга: Спіни, Температура та Магнітний порядок

Обертання як стріла, а не частка

Модель Езінга, основний інструмент статистичної механіки, надає кожній точці решітки спін, який може вказувати лише вгору або вниз – це один біт. Класична модель Гейзенберга послаблює це обмеження: кожна точка несе безперервну тривимірну одиничну векторну величину, яка вільно може вказувати будь-яким чином на сфері. Ця додаткова свобода робить її значно ближчим класичним представленням справжнього квантового магнітного моменту, але це призводить до значно більшого простору конфігурацій для вибірки.

Обмінна енергія

Сусідні спіни взаємодіють через обмінне з’єднання J, яке винагороджує узгодження. Загальна енергія складається із скалярного добутку по кожній парі найближчих сусідів на решітці:

H = -J · Σᵢⱼ (Sᵢ · Sⱼ) J > 0 → ферромагнітна (узгоджені спіни знижують енергію) J < 0 → антиферромагнітна (антиузгоджені спіни знижують енергію) Оскільки Sᵢ · Sⱼ залежить від кута між двома одиничними векторами, а не лише від їхнього знаку, ландшафт енергії є гладким і безперервним, на відміну від дискретного чотирикомпонентного підсумка Ізинга. Будь-який невеликий поворот спіну трохи змінює енергію; немає мінімального кроку.

H = -J · Σ (S_i · S_j)

  J > 0  →  ferromagnetic  (aligned neighbours lower the energy)
  J < 0  →  antiferromagnetic  (anti-aligned neighbours lower the energy)

Метод Монте-Карло

Жодна з цих систем не розв’язується аналітично для великої решітки, тому вона вибірково досліджується: випадково обирають сайт, пропонують нове випадкове положення для спіну цього сайту, обчислюють отриманий енергетичний зміст ΔE та приймають рух беззастережно, якщо ΔE ≤ 0. Якщо рух підвищив би енергію, він приймається все ж таки з ймовірністю exp(-ΔE / k_B T) — інакше відхиляється, і старе положення зберігається. Це повторюється мільйони разів, і цей Метод Монте-Карло доводить, що ці конфігурації вибірково досліджуються відповідно до правильного теплового (Больцомова) розподілу за температури T.

Упорядоження з хаосу: домени та температура упорядження

Почніть із решітки повністю випадково і запустіть її при високій температурі: сусідні спіни вказують у будь-якому напрямку, а середнє магнітне моментування всієї решітки коливається близько нуля — розсіяний парамагнітний стан. Зменште температуру, і сила обміну починає перемагати тепловий шум: з'являються ділянки сусідніх спінів, що вказують у приблизно одному напрямку, і ці ділянки – магнітні домени – зростають та вирівнюються, коли T падає, точно так само, як це відображається в живій симуляції як області з однаковим кольором.

Чому це відрізняється від моделі Ізінга

Модель Ізінга характеризується дискретною двостановою (Z2) симетрією, а 2D модель Ізінга відома своїм точним розв’язком (Онсагер, 1944) з справжнім фазовим переходом при кінцевій критичній температурі. Модель Гейзенберга ж має безперервні обертальну (O(3)) симетрії, і теорема Мерріна-Вайгнера забороняє, щоб ця безперервна симетрія спонтанно руйнувалася у довготривалій порядку в одній або двох вимірах при будь-якій ненульовій температурі, в ідеалізованому нескінченному решітці. Однак реальні змодельовані решітки є кінцевими, тому вони все ще помітно розвивають короткочасні корельовані домени, які зростають при зниженні температури – це сильний кінцевий ефект відбиття упорядкування навіть там, де математично заборонено справжнє довготривале упорядження.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Heisenberg Spin Model і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.