Закон Гrahама про випромінювання: Чому легкі гази виходять швидше

Витікання – це не розповсюдження

Витікання – це вихід молекул газу поодинці через отвір, настільки малий, що ймовірність того, що молекула пролетить крізь нього прямо, значно більша, ніж зіткнення з іншими молекулами під час проходження. Це умовність – отвір має бути значно меншим за середню довжину міжмолекулярних відстаней газу – відрізняє витікання від звичайного розповсюдження, яке є масовим змішуванням, що відбувається під дією великої кількості міжмолекулярних зіткнень і описується законами Фікка. Витікання турбується лише про швидкість окремих молекул, які досягають отвору; розповсюдження – про те, як велика група переміщується через середу.

Від чого береться квадратний корінь

Теорія Кірхгоффа стверджує, що кожен газ за температури T має середню кінетичну молярну енергію, незалежно від того, з якого молекули він складається. Прирівняйте це до (1/2)mv² і розв’яжіть рівняння для швидкості, при цьому маса випадає з енергії, але залишається в швидкості — легші молекули повинні рухатися швидше, щоб нести однакову енергію.

Рівна кінетична енергія на моль за температури T: (1/2) m v_rms^2 = (3/2) k_B T => v_rms = sqrt(3 R T / M) Проникний потік через невеликий отвір (Кнудсеновський режим): d (діаметр отвору) << λ (середня вільна відстань) Швидкість ∝ n · v_avg / 4 ∝ 1 / sqrt(M) (T, P не змінюються) Проникний потік через отвір пропорційний щільності молекул, помноженій на їхню середню швидкість у напрямку цього отвору — і оскільки v_avg також масштабується як 1/√M при фіксованій температурі, весь потік успадковує цю залежність від квадратного кореня від молярної маси.

Equal kinetic energy per molecule at temperature T:
  (1/2) m v_rms^2 = (3/2) k_B T   =>   v_rms = sqrt(3 R T / M)

Effusion flux through a small orifice (Knudsen regime):
  d (orifice diameter) << λ (mean free path)
  Rate ∝ n · v_avg / 4  ∝  1 / sqrt(M)   (T, P held constant)

Саме закон Гrahама

Томас Грaхaм сформулював емпіричне правило в 1830-х роках, десятиліття до того, як кінетична теорія могла його пояснити: швидкість витікання газу обернено пропорційна квадратного кореня від його молярної маси. Порівнюючи два гази за однакових температури та тиску, ми отримуємо один співвідношення, rate₁/rate₂ = √(M₂/M₁) — не потрібний калькулятор, якщо ви довіряєте деривації на основі кінетичної теорії вище.

Практичне застосування: розділення ізотопів за допомогою атомів

Історичний метод газо diffusion для збагачення урану використовував гексафторид урану (UF6) як газ, який прокачували через стадії пористих мембран. Цей процес спирався на незначну різницю в швидкості витікання молекул, що складаються навколо U-235 порівняно з U-238. Оскільки відношення мас становить лише приблизно 1,0043, одна стадія розділяє ізотопи лише на 0,2%, тому реальні установки використовували тисячі стадій для досягнення потрібного рівня збагачення – це прямий, промисловий наслідок квадратного кореня.

Обмеження закону

Закон Гrahама справедливий лише в Knudsen режимі, описаному вище — справжній отвір у вакуум або значно нижчий тиск з отвором меншим за середню довжину вільного шляху. Якщо пропускати газ через пористу пробку, довгу трубку чи будь-який шлях, де молекули стикаються одна з одною під час виходу, то ви покидаєте ефузійний режим і переходите до в’язкого або дифузійного потоку, який слідує за іншими масштабами. Закон також передбачає поведінку ідеального газу, тому він втрачає справедливість при дуже високому тиску чи дуже низькій температурі, коли реальні міжмолекулярні сили починають впливати.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Graham's Law of Effusion і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.