Гармонограф: Два Важелі, Одна Зникаюча Крива

Принцип дії гармонографа: два розсихаючі підвіси

Гармонограф — це механічний прилад для малювання, де два або більше підвісів, кожен з яких вільно коливається, з’єднані з ручкою та поверхнею (або, у бічнму гармонографі, один підвіс самостійно керує ручкою, а інший — столом під ним). Кожен підвіс сприяє власному синусоїдальному руху вздовж осі положення ручки, і оскільки справжні підвіси втрачають енергію через тертя та опору повітря, цей рух не є чистим, безперервним синусом — він згасає.

x(t) = Ax e^{-dx t} sin(fx t + px) y(t) = Ay e^{-dy t} sin(fy t + py) Побутка x(t) проти y(t) параметрично, коли t змінюється, відтворює криву. Без гасіння (d = 0) та простих цілих співвідношень частот, це спрощується до класичної фігури Ліссажу — замкнені петлі, форму яких залежить лише від співвідношення fx:fy та різниці фаз. Візерунок спірального заглинання гармонографа повністю зумовлений експоненційними членами згасання, які зменшують амплітуду з кожним періодом до тих пір, поки ручка фактично не припиняє роботу.

x(t) = Ax e^{-dx t} sin(fx t + px)
y(t) = Ay e^{-dy t} sin(fy t + py)

Відношення частот визначає симетрію візерунка

Коли fx та fy перебувають у простому раціональному відношенні – 1:1, 2:3, 3:5 – основна неамартизована крива закривається на собі після певної кількості циклів, створюючи знайомі форми восьмирічки, квітки та зірки. Нераціональні або майже раціональні відношення ніколи не закриваються, тому шлях пера зрештою заповнить весь доступний простір, якщо не враховувати демпфування, яке спочатку обмежує процес; насправді, демпфування робить різницю між раціональним та нераціональним відношенням переважно тим, скільки циклів завершується візерунок до того, як він згасне до точки.

Фази встановлюють орієнтацію та відкритість закономірності

Для фіксованого співвідношення частот, зміна відносної фази між x та y обертає та змінює форму траси без зміни кількості лобів. Фазове відхилення рівне нулю радіанів схильне до створення прямої або вузької діагональної форми; фазове відхилення чверті (π/2) радіан відкриває той самий співвідношення у найбільш округлому вигляді – такий самий зв'язок, що робить траєкторію 1:1 частоти та π/2 фази, ідеальний коло замість лінії.

Чому справжні гармоніографи завжди спіралюються всередину

Кожен механічний підвіс втрачає енергію через тертя в опорі та опір повітря, тому його амплітуда коливань зменшується приблизно експоненціально з характерним коефіцієнтом гасіння d. У гармоніграфі з двома або трьома підвісами осі зазвичай мають дещо різні коефіцієнти гасіння через те, що підвіси відрізняються за масою, довжиною або тертям в підшипнику, тому шаблон не зменшується однорідно — він також трохи зсувається та спотворюється під час розкладання, що є однією з причин, чому два зображення гармоніграфі, намальовані з ідентичних підвісів, виглядають зовсім не схожими.

Від підвісів до блоків Фуріє

Гармонограф – це фізична демонстрація значно більшої ідеї: будь-яка достатньо добре виражена періодична 2D крива може бути наближено представлена сумою синусоід з різної частоти, амплітуди та фази вздовж кожної осі – той самий принцип, що лежить в основі ряду Фуріє та епіциклізованого методу побудови кривих, як у іграшках-спірографах з передачами. Двопідвісний гармонограф є найпростішим можливим випадком, коли використовується одна синусоїда на осі; додавання третього підвісу, який також штовхає обидві осі, дозволяє машині малювати набагато більш різноманітний клас кривих, але при цьому закономірність значно складніше передбачити вручну.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Harmonograph і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.