Harmonograph: Dwa Pędy, Jedna Rozkładająca Się Krzywa

Mechanizm rysujący składający się z dwóch rozkładających się wahaczy

Harmonograf to urządzenie mechaniczne, w którym dwa lub więcej wahaczy, każdy oscylujących niezależnie, jest połączone z piórem i powierzchnią (lub, w przypadku harmonografu bocznego, jeden wahacz rysuje pióro, a drugi – stół pod nim). Każdy wahacz wnosi własny ruch sinusoidalny do osi położenia pióra, a ponieważ rzeczywiste wahacze tracą energię z powodu tarcia i oporu powietrza, ten ruch nie jest czysty i nieskończony sinus — ulega zanikowi.

x(t) = Ax e^{-dx t} sin(fx t + px) y(t) = Ay e^{-dy t} sin(fy t + py) Rysowanie x(t) w stosunku do y(t) parametrycznie, gdy t postępuje, śledzi krzywą. Bez tłumienia (d = 0) i prostych częstotliwości całkowitych, to redukuje się do klasycznej figury Lissajousa – zamkniętych łuków, których kształt zależy tylko od stosunku fx:fy i różnicy faz. Spirala charakterystyczna harmonografu pochodzi w całości z terminów eksponencjalnego zaniku, które zmniejszają amplitudę co okres, aż pióro skutecznie przestaje rysować.

x(t) = Ax e^{-dx t} sin(fx t + px)
y(t) = Ay e^{-dy t} sin(fy t + py)

Proporcja częstotliwości decyduje o symetrii wzoru

Gdy fx i fy są w prostym, ułamkowym stosunku – 1:1, 2:3, 3:5 – podwzgórze niewibracjne zamyka się na sobie po skończonej liczbie pętli, tworząc znajome kształty ókręgu, kwiatowe i podobne do gwiazd. Nieracjonalne lub prawie nieracjonalne proporcje nigdy nie zamykają się całkowicie, więc ślad pióra ostatecznie wypełniłoby całą dostępną powierzchnię, gdyby nie tłumienie; w praktyce tłumienie sprawia, że różnica między proporcją racjonalną a nieracjonalną jest głównie kwestią tego, ile pętli wzór wykonuje przed zanikiem do punktu.

Fazy ustalają orientację i otwartość wzoru

Dla stałego stosunku częstotliwości, zmiana względnej fazy px - py obraca i przekształca rysunek bez zmiany liczby łokci. Różnica faz równa zero radianów ma tendencję do generowania prostej lub wąskiej diagonali; różnica faz równa π/2 ma tendencji otworzyć ten sam stosunek w najbardziej okrągły, najcircularniej wyglądający kształt – to samo relacja, która sprawia, że figura Lissajousa o częstotliwości 1:1 i ścieżce fazowej π/2 rysuje idealny koło zamiast linii.

Dlaczego prawdziwe harmonografy zawsze spiralują wewnątrz

Każedy mechaniczny wahadło traci energię na tarcie i opór powietrza, dlatego amplituda jego ruchu ulega stopniowemu zanikowi, przybliżonemu wykładnicznie z charakterystycznym współczynnikiem tłumienia d. W harmonografie dwu- lub trzywahłowej, osie zazwyczaj mają nieco różne współczynniki tłumienia, ponieważ wahadła różnią się masą, długością lub tarciem łożyska, co powoduje, że wzór nie zanika jednolicennie – jednocześnie przesuwa się i lekko zniekształca w miarę upływu czasu, co jest częściowo przyczyną, dla której żadne dwa rysunki wykonane tymi samymi wahadłami, wydawałoby się identyczne, nie wyglądają tak samo.

Od oscylatorów po bloki Fouriera

Harmonograf jest demonstracją fizyczną znacznie szerszej idei: każdy wystarczająco dobrze zachowany okresowy krzyż 2D może być przybliżony przez sumowanie odpowiedniej liczby sinusoid o różnych częstotliwościach, amplitudach i fazach wzdłuż osi – to samo zasada leżąca u podstaw szeregów Fouriera oraz metody rysowania krzywych opartych na epicyklach, wykorzystywanych w zabawkach spirograficznych napędowanych przekładniami. Dwuczynnikowy harmonograf jest najprostszym możliwym przypadkiem – jedna sinoida na osi; dodanie trzeciego oscylatora, który również porusza oboma osiami, pozwala maszynie rysować znacznie bogatszą rodzinę krzywych, kosztem jednak faktu, że wzór jest znacznie trudniejszy do przewidzenia ręcznie.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Harmonograph i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.