Геодезичні куполи: Як Фуллер Перетворив Ікосаедр на Сферу

Чому ікосаедр?

Існує рівно п’ять платонівських багатогранників — випуклих поліходів, побудованих з одного повтореного регулярного многокутника з однаковою розміткою у кожній вершині: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр. Серед них ікосаедр — 20 рівносторонніх трикутників, 30 ребер, 12 вершин — найближче розташований до сфери, що й пояснює вибір R. Бакмінстер Фуллером як відправну точку для купола, який він запатентував у 1954 році. Його геометрія пов’язана з золотим відношенням φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618: три взаємоперпендикулярні золотих прямокутників, на малюнок яких пройдено через центр, точно потрапляють у 12 вершин ікосаедра.

Формула Ейлера та дванадцять п’ятигранників

Ейлер у 1752 році виявив, що кожний опукли́й багатогранник задовольняє V − E + F = 2 — де V – кількість вершин, E – кількість ребер, а F – кількість граней. Це називається характеристикою Ейлера для сфери. Для повно затрекінтованого купола кожне ребро з’єднується рівно з двома гранями, а кожна грань має три ребра, тому 3F = 2E. Підставляючи це в рівняння, отримуємо V = F/2 + 2. Розв’язуючи задачу про підрахунок вершин за ступенем, ми доводимо не зовсім очевидне твердження: затрекінтована сфера повинна містити рівно 12 вершин ступеня 5, незалежно від того, наскільки детально її розбито, а всі інші вершини мають ступінь 6. Це той самий топологічний закон, який змушує футбольний м’яч мати 12 п’ятигранників і змушує молекулу carbon-60, названу на честь Fuller, мати 12 п’ятикутних кілець серед своїх 20 шестикутних кілець.

Розділення за частотою ν

Геодезичний купол будується шляхом поділу кожної ікосаедричної грані на менші трикутники — частота ν визначає кількість рівних сегментів, на які розрізано початковий ребро — а потім радіально проектуються всі нові вершини на навколоокружню сферу. Для Класу I поділу підрахунки масштабуються чисто з ν:

Грані: F = 20ν² Ребра: E = 30ν² Вершини: V = 10ν² + 2 Перевірка: V - E + F = (10ν²+2) - 30ν² + 20ν² = 2 ✓ (завжди) ν = 1 є голим ікосаедричним тілом (20 граней). Типовий хобі-купол використовує ν = 2 або 3; ‘Spaceship Earth’ Еpcot — це сфера з 16 частотами, побудована з 11324 панелей. Збільшення ν покращує наближення поверхні сфери, але множить кількість різних довжин ребер, які потрібно вирізати будівельнику — купол з 3V потребує лише 3 типів ребер, а купол з 16V потребує багатьох інших, що є справжньою інженерною компромісною частотою.

Faces:    F = 20ν²
Edges:    E = 30ν²
Vertices: V = 10ν² + 2

check: V - E + F = (10ν²+2) - 30ν² + 20ν² = 2   ✓  (always)

Великі кола та довжина перехідного елемента

Велике коло — це перетин сфери площиною через її центр, а великі коларо - геодезичні шляхи — найкоротші шляхи на поверхні сфери, звідки береться назва купола. Кожен перехідний елемент у готовій конструкції розташований вздовж великого коларо, що саме пояснює ефективну розподіл навантаження: перехідний елемент, що несе силу, розв’язує її по шляху, який вже є найпряжішим до фундаменту. Для двох вершин u та v, нормалізованих на сфері радіуса R, розділених центральним кутом α = arccos(u·v), довжина перехідного елемента становить просто довжину хорди:

L = R · |u - v| = 2R · sin(α / 2) У півкуполі з трьох частот, обчисленому за точними координатами вершин ікосаедра, формула дає три типи перехідних елементів — зазвичай позначені як A, B та C, у співвідношенні приблизно 30:30:15, тому префабриковані набори куполів відправляються з перехідними елементами, які точно мають три довжини.

L = R · |u - v| = 2R · sin(α / 2)

Простори сферичних оболонок

Серед усіх замкнутих поверхонь, що обмежують фікваний об’єм, сфера має найменшу площу поверхні — нерівність і спірності — тому сферична оболонка потребує найменшої кількості матеріалу на одиницю обмеженого простору: V/A = R/3, приблизно 24% більше об’єму на одиницю поверхні, ніж куб такого ж об’єму. Під рівномірним навантаженням члени трикутної куполи несуть чисту напругу або стиснення вздовж своєї довжини, а не згинаються, розподіляючи навантаження по кожній базі замість того, щоб концентрувати його в кількох балках, як це робить прямокутний каркас. Fuller назвав це принципом напруженої стабільності в найбільш вираженій формі — стиснуті балки, підтримувані безперервною мережею натягу — і це той самий принцип, який пізніше застосував Donald Ingber для опису того, як цитоскелет клітини підтримує її форму. Монареа Biosphere (76 м, ν = 4), біоми ETFE Eden Project та радіуми DEW Line базуються на тому ж факті: подвоєння радіуса куполи вчетраз збільшує її обмежений об’єм, а лише подвоює площу поверхні.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.