Гальтонів механізм: Біноміальна ймовірність набуває форми дзвіночка

Проєкція руху

Гальтонів механізм – також відомий як машина з бобами, названа на честь Френсіса Гальтона, який побудував його в 1890-х роках, щоб зробити ймовірність візуально сприйнятною – це вертикальний механізм, заповнений рядами штифтів, розташованих у трикутнику. М’ячик скидається зверху, потрапляє на перший штифт і відскакує вліво або вправо з приблизно рівною ймовірністю. Потім він падає на наступний ряд і повторює вибір, ряд за рядом, поки не впаде в один із контейнерів унизу.

Кожен відскок є незалежним кидком монети. Після n рядів положення м’ячика в кінцевому підсумку залежить від кількості правильних відскоків з n спроб – це точно визначення біномільної випадкової величини з параметрами n і p = 0,5. Скиньте кілька тисяч куль, і контейнери заповняться пропорційно біноміальним ймовірностям, і класична піраміда з куль, що утворюється, не є метафорою розподілу – це розподіл, побудований фізично по одній кулі за раз.

Паскалева трикутник – це точна відповідь

Ймовірність того, що куля потрапить у бінарний контейнер k після n рядків, задається точно біноміальним формулою, а коефіцієнти відповідають рядкам Паскалевої трикутника: кожен елемент – це кількість різних шляхів зліва/справа, які ведуть до цього контейнера.

P(бінарний контейнер = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k) n=4 рядок Паскалевої трикутника: 1 4 6 4 1 → ймовірності (p=0.5): 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 З p = 0.5 трикутник симетричний, і центральні контейнери є найбільш ймовірними місцями приземлення, просто тому що існує більше різних шляхів (більше способів чергувати ліві та праві рухи), які досягають центру, ніж країв. Контейнер 0 (всі ліві) і контейнер n (всі праві) кожен має рівно один шлях, отже вони завжди є найрідкіснішими результатами.

P(bin = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)

n=4 row of Pascal's triangle:  1  4  6  4  1
→ probabilities (p=0.5):    1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Чому це виглядає як звичайна крива

Коли n зростає, нерівномірна біноміальна гістограма плавно перетворюється на знайому дзвіночкову форму. Це центральний доказ теореми у найбільш буквальному сенсі: сума багатьох малих, незалежних, однаково розподілених кроків (тут ±1 в ряд) збігається до нормального розподілу, незалежно від деталей кожного кроку. Теорема де Мобіє – Лапласа, доведена в 1730-х роках — десятиліття до Гаусса — є спеціальним випадком, який показує, що біноміальний розподіл також добре наближається нормальним розподілом із середнім значенням np та стандартним відхиленням √(np(1-p)), коли n достатньо великий.

Ця формула дисперсії також пояснює характерну форму дошки: розповсюдження стовпця зростає лише як √n, а не як n, тому додавання більших рядів робить дзвіночок помітно вужчим відносно своєї ширини — візуальне підтвердження того, чому середнє значення більшої кількості вимірювань є більш надійним.

Зі іграшки до статистичного інструменту

Машина з бобами не була побудована як іграшка. Гальтон використав її, щоб довести, що ознаки, сформовані багатьма малими незалежними спадковими та екологічними впливами — наприклад, зріст — повинні бути нормально розподілені в популяції, ідея, яка була центральною для народження біометрії та регресійного аналізу. Та ж логіка з дошками з піком лежить в основі випадкових ходів, дифузії частинок (це її безперервний часовий ліміт) та контрольних діаграм якості, які очікують, що помилки вимірювання будуть скупчені навколо справжнього значення у форму симетричного дзвіночка.

Зхищте дошку, віддаляючи p від 0,5 — вирівнювання пік, яке переважно сприяє одній стороні — і розподіл перестане бути симетричним, але одна й та ж біноміальна машина все ще застосовується; лише середнє значення np змінюється, а нормальне наближення стає несиметричним доки n не стане достатньо великим, щоб згладити його

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Galton Board і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.