Deska Galtona: Szansa Dwumianowa Staje Się Krzywą Dzwonkową

Maszyna, która wykreśla rozkład binomalny

Galton Board – zwany również maszyną z fasolami, ku pamięci Francisowi Galtonowi, który zbudował ją w latach 90. XIX wieku, aby uczynić prawdopodobieństwo widocznym – to pionowa płyta wyposażona w szeregi kolców ułożone w trójkąt. Kulka jest upuszczana na szczycie, uderza w pierwszą kolcę i odbija się z przybliżoną równą dołą na lewo lub prawo. Następnie spada na kolejną linię i powtarza wybór, linia po linii, aż spadnie do jednego z koszy pod spodem.

Każde odbicie to niezależny rzut monetą. Po n liniach pozycja kulki w ostatecznym koszu jest równa liczbie prawych odbić spośród n prób – dokładnie definicja zmiennej losowej binomalnej z parametrami n i p = 0,5. Wyrzucając kilka tysięcy kulek, kosze wypełniają się proporcjonalnie do prawdopodobieństw binominalnych, a klasyczny stos piłek w kształcie dzwonu nie jest metaforą rozkładu – to właśnie ten rozkład, zbudowany fizycznie linia po linii.

Trójkąt Pascala to dokładna odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że piłka zakończy w binie k po n rzędach, jest dokładnie dane przez wzór dwumianowy, a współczynniki są rzędem trójkata Pascala: każdy element reprezentuje liczbę różnych ścieżek lewo-prawo, które prowadzą do tej biny.

P(bin = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k) n=4 rząd trójkata Pascala: 1 4 6 4 1 → prawdopodobieństwa (p=0.5): 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 Gdy p = 0.5 trójkąt jest symetryczny i biny środkowe są najprawdopodobniej najbardziej prawdopodobne, ponieważ istnieje więcej różnych ścieżek (więcej sposobów na interakcję lewostronnych i prawostronnych) prowadzących do centrum niż brzegów. Bina 0 (wszystkie lewy ruchy) i bina n (wszystkie prawostronne ruchy) mają dokładnie jeden szlak, więc są zawsze najrzadszymi wynikami.

P(bin = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)

n=4 row of Pascal's triangle:  1  4  6  4  1
→ probabilities (p=0.5):    1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Dlaczego przypomina normalny wykres krzywizny

Wraz ze wzrostem n, nieregularny histogram binomalny wygładza się w znaną krzywkę symetryczną. Jest to najbardziej dosłowne przejaw twierdzenia o granicy dla dużego zbioru (tutaj: suma wielu małych, niezależnych, identycznie rozłożonych kroków – ±1 na rzędzie) konwergencją do rozkładu normalnego bez względu na szczegóły każdego kroku. Twierdzenie de Moivre'a-Laplace’a, udowodnione w latach 30. XVIII wieku – kilkadziesiąt lat wcześniej niż Gauss – jest przypadkiem specjalnym, który pokazuje, że rozkład binomalny sam w sobie dobrze aproksymowany jest przez krzywkę normalną o średniej np i odchyleniu standardowym √(np(1-p)), gdy n jest wystarczająco duże.

Tożsama formuła na wariancję wyjaśnia charakterystyczny kształt planszy: rozrzut stosu rośnie tylko jako √n, a nie jako n, więc dodawanie kolejnych rzędów sprawia, że krzywa symetryczna jest zauważalnie węższa w porównaniu z jej szerokością – wizualne udowodnienie, dlaczego średnia z większej liczby pomiarów jest bardziej wiarygodna.

Od zabawki do narzędzia statystycznego

Maszyna z fasolami nie była zbudowana jako zabawka. Galton wykorzystał ją, aby argumentować, że cechy kształtowane przez wiele małych niezależnych wpływów dziedzicznych i środowiskowych – takich jak wzrost – powinny być rozłożone normalnie w populacji, co stanowiło podstawę powstania biometrii i analizy regresji. Ta sama logika z planszą z kropkami leży u podstaw losowych dróg, dyfuzji cząstek (jej ciągły czas jest limitem ruchu Browna) oraz wykresów kontroli jakości, które oczekują skupienia się błędów pomiarowych wokół prawdziwej wartości w kształcie krzywki Gaussa.

Zniekształć planszę, poprzez ustawienie kropel tak, aby p odchylało się od 0,5 – ustawienie kropel preferujące jedną stronę – i rozkład przestaje być symetryczny, ale ta sama maszyna binarna nadal obowiązuje; zmienia się tylko średnia np oraz normalne przybliżenie staje się skośne, aż n osiągnie wystarczającą wielkość, aby je wygładzić ponownie.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Galton Board i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.