Футбол: Фізика кидка, ефект Магнуса за кожним розкручуванням м’яча

Дві сили після відриву ноги від м’яча

Один раз, коли футбольний м'яч знаходиться в повітрі, на нього діють лише три речі: сила тяжіння, аеродинамічний опір та – якщо м’яч обертається – сила Магнуса. Сила тяжіння постійна і нудна. Опір протидіє вектору швидкості та залежить від квадрату швидкості, тому повний удар уповільнюється значно швидше, ніж легкий пас. Найцікавіша з них – сила Магнуса: обертаючийся м’яч тягне за собою тонкий шар повітря (в'язкість плюс умова без тертя на поверхні), і цей обертаюся шар збільшує швидкість вільного потоку повітря з одного боку м’яча та зменшує її з іншого.

За принципом Бернуллі, сторона з більшою відносною швидкістю потоку повітря має нижчий тиск, тому м'яч штовхається до сторони з низьким тиском – перпендикулярно як його напрямку руху, так і осі обертання. Це той самий механізм, що генерує підйом на крилі, лише загорнутий навколо сфери замість аероформи. Топовий удар робить м’яч раніше; бічний оберт змушує його згинатися вліво або вправо; суміш обох, як у більшості реальних ударів по м'ячу, робить обидва одночасно і створює характерну «бананову» траєкторію, яку тренери готують гравців.

Магнітна сила, кількісно

Величина магнітної сили на кулю радіусу r, що рухається з швидкістю v з кутовою частотою омега, зазвичай моделюється як F = 1/2 * Cl * ρ * A * v^2, де ρ - густина повітря, A - площа поперечного перерізу кулі (πr^2), а Cl - коефіцієнт підйомної сили, який сам залежить від параметру обертання S = омега * r / v - відношення поверхневої швидкості кулі до її швидкості через повітря.

S = ω*r / v F_magnus ≈ 1/2 * Cl(S) * ρ * A * v^2 F_drag ≈ 1/2 * Cd(v) * ρ * A * v^2 a = (F_magnus + F_drag + m*g) / m → інтегрувати з RK4 або Верлетом Вітрильні дослідження футболів (Мехта, Асаї та інші) показують, що Cl зростає приблизно лінійно з S в межах, які створюють гравці, потім стабілізується і навіть падає для дуже високого обертання - одна з причин, чому екстремальне обертання не завжди означає екстремальний поворот. Коефіцієнт опору Cd також не є постійним: футболки відчувають кризу опору близько 10 м/с, коли межа шару переходить від ламинарного до турбулентного, і Cd різко падає, що пояснює поведінку knuckleball - кулі, що вдаряється з майже нульовим обертанням на цій критичній швидкості - таким непередбачуваною. Відсутність стабільної магнітної сили для згладжування її шляху призводить до того, що незначні асиметрії швів кулі викликають її коливання та танці під час проходження до воріт, хитра стратегія найвідоміших безколікових ударів Кріштіану Роналду та Жуніньо.

S = ω·r / v            spin parameter (dimensionless)
F_magnus ≈ ½ · Cl(S) · ρ · A · v²
F_drag   ≈ ½ · Cd(v) · ρ · A · v²
a = (F_magnus + F_drag + m·g) / m   → integrate with RK4 or Verlet

Чому збій росте пізно, а не рано

Це тому, що сила тертя (F_magnus) залежить від квадрату швидкості та опір поступово зменшує кінетичну енергію, бокове відхилення накопичується швидше в абсолютних величинах на ранніх етапах польоту, але візуально влучний ударного м’яча виглядає як він найбільше згинається в останні метри. Це траєкторіальна ілюзія: м’яч постійно прискорювався в бік протягом усього часу (постійна поздовжня сила прискорення відносно зменшуваної швидкості означає, що шлях викривляється гостріше на кожну подолану метру, коли м'яч сповільнюється), тому кривина – а не відхилення – збільшується в кінці польоту.

Запуск кута, потужності та стіна

Для заданої якості удару, оптимальний кут запуску для подолання захисної стінки приблизно 9,15 м, при цьому все ще падаючи під перекладину, обмінюється двома обмеженнями: достатня вертикальна швидкість для проходження близько 2 м гравців-захисників протягом перших 9-10 м, і достатній довірливий згин (від обертання зверху або сили тяжіння) щоб повернути м’яч вниз перед тим, як він полетить над воротами.

Це саме тому, що більшість професійних ударів по волю об’єднують обертання зверху для контрольованого падіння з меншою бічною швидкістю для згину навколо стіни, а не чистою бічною швидкістю, яка зазвичай залишається надто високою назавжди.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Football Kick Physics і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.