Закон Фіка та дифузія: Як випадковість створює градієнт

Випадкові ходи додають до плавної градієнтності

Дифузія виглядає цілеспрямованою — барвник рівномірно розтікається у воді, аромат заповнює кімнату, сіль збагачується в мембрані — але нічого в цьому процесі не прагне до чогось. Кожна молекула здійснює випадковий рух: її б’ють термічні зіткнення та вона рухається непередбачувано у кожний момент часу. Те, що здається спрямованим потоком «від високої концентрації до низької», насправді є статистичною аномалією, спричиненою величезною кількістю частинок. Де більше частинок, то більше з них випадково відхиляються назовні, ніж відхиляються всередину з менш щільної сторони, просто тому що їх там більше. Чистий рух виникає за рахунок чистої випадковості плюс нерівномірний початковий розрахунок.

Це мікроскопічне зображення відображається макроскопічно законами Фіка, опублікованими Адольфом Фіком у 1855 році за аналогією з законом Фуріє про теплопровідність. Закон першого Фіка стверджує, що дифузійний потік J пропорційний градієнту концентрації:

J = -D * (dC/dx) J потік — кількість, що перетинає одиницю площі за одиницю часу D коефіцієнт дифузії (м²/с) — наскільки швидко поширюється вид C концентрація dC/dx градієнт концентрації (швидкість зміни градієнту) Мінус знак показує, що потік тече вниз за градієнтом: чистий рух від високої C до низької C. Закон другого Фіка випливає з комбінування першого закону з законом збереження маси (частинки не створюються і не знищуються), даючи дифузійне рівняння:

dC/dt = D * (d²C / dx²) Це той самий рівняння, що регулює теплопровідність, і воно має ту ж саму сигнатурну розв’язку: початковий пік концентрації розповсюджується в гаусову косичку, ширина якої зростає як sqrt(t), а не як t. Це квадратне кореневе масштабування є найважливішим фактором у дифузії: щоб подвоїти відстань розповсюдження, потрібно вчетверо більше часу, а не вдвічі. Саме тому дифузія сама по собі занадто повільна для переміщення кисню через все тіло тварини (що пояснює існування кровообігу), але достатньо швидка для переміщення через кілька мікрометрів ширини клітинної мембрани.

J = -D * (dC/dx)

J       flux -- amount crossing a unit area per unit time
D       diffusion coefficient (m^2/s) -- how fast the species spreads
C       concentration
dC/dx   concentration gradient (steepness of the slope)

Осмос: дифузія розчинника, а не збудника

Осмос є особливим випадком: молекули води дифундують через напівпроникну мембрану, яка дозволяє проходження розчиннику, але блокує збудник (наприклад, велику цукрову молекулу). Вода не може досягти рівноваги концентрації шляхом переміщення збудника, тому вона рухається сама – чистий потік йде від сторони з більшою вільною водою (нижчою концентрацією збудника) до сторони з меншою, розбавляючи насичену сторону, поки не досягнуто рівного хімічного потенціалу води на обох сторонах, або поки не розвинеться протидія осмосним тиску. Відношення Ван’т-Гоффа розглядає осмосний тиск як ідеальний газ частинок, що розчинені: π = iMRT, де i – кількість частинок, на які розщеплюється збудник, M – молярна концентрація, R – газова стала, а T – абсолютна температура. Це саме так рослинний клітин залишається пружним, як червоні кров’яні клітини лопаються у чистій воді, і як слимак зморщується на солоній землі.

Моделювання: багато випадкових переміщувачів або один поле

Існує дві рівноцінні способи моделювати дифузію, і в цій демо-версії сайту використовується версія з частинками, оскільки вона робить випадковість візуально очевидною. Кожна частинка отримує невелике випадкове зміщення кожного кадра, витягнуте незалежно в x та y – буквально Браунівський рух: x += randn() * sqrt(2*D*dt). Відстежуйте тисячі таких частинок і гістограма їх положень збігається з гаусовим розв’язком другого закону Фіка автоматично; немає обчислення градієнта, немає обчислення потоку, лише шум плюс кількість частинок. Альтернатива – метод кінцевих різниць, який дискретизує C(x,y) на сітці та ітерує пряме розв’язання дискового Лапласіана — швидше для великих систем і для точного дотримання меж мембрани, але приховує основну випадковість, яка робить дифузію дифузією.

Режим мембрани додає правило: частинка, намагаючись перетнути межу мембрани, відбивається, якщо не відбувається перевірки на прохідність через мембрану, що є мікроскопічним механізмом, який стоїть за осмотичним тиском – повністю блокувати частинки розчинених речовин, дозволяти частинкам розчинника проходити вільно, і спостерігати за перерозподілом вільного об’єму.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Particle Diffusion і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.