Закони Фіка про дифузію: градієнти концентрації та потік

Дифузія – це випадковий рух у замаскуванні

Киньте смужку барвника у воду, і вона розповсюджується, незважаючи на відсутність будь-якого потоку, який би її штовхав. Кожна молекула хаотично відхиляється під час теплових зіткнень – це випадковий рух, і хоча шлях окремої молекули непередбачуваний, статистичні дані мільярдів з них не є. Гостра смужка неминуче розм’якшується у широку, пласку симетричну форму, і вона завжди розм’якшується в одному й тому ж напрямку: від високої концентрації до низької. Ця спрямованість не виникає через силу, яка тягне молекули вниз; це просто підрахунок. Більше молекул знаходиться поблизу піку, ніж на краях, тому більше випадкових кроків переносить молекули з піку, аніж до нього.

Перше Закони Фіка: потік від градієнта

Адольф Фік у 1855 році використав математичну форму закону про теплопровідність Форера та застосував її до речовин. Перше Закони Фіка стверджує, що потік J – кількість речовини, яка проходить через одиницю площі за одиницю часу – пропорційний місцевому градієнту концентрації:

J = -D · (dC/dx) J : потік (моль на м² на с) D : коефіцієнт дифузії (м²/с) – залежить від середовища, температури та розміру молекули dC/dx : градієнт концентрації мінус знак: потік тече вниз градієнту, з високої C до низької C D не є універсальною сталою – це властивість пари (розчинник, середовище) за заданої температури. У газі D найбільший, порядку 10⁻⁵ м²/с, оскільки молекули перебувають на великій відстані одна від одної через зіткнення. В рідині він падає приблизно до 10⁻⁹ м²/с, оскільки розчинник постійно збуджено щільною оболонкою сусідів. У твердій речовині або гелі він може впасти до 10⁻¹² м²/с або нижче, оскільки навколишня решітка або полімерна сітка повністю блокує більшість шляхів.

J = -D · (dC/dx)

J : flux (mol per m² per s)
D : diffusion coefficient (m²/s) - depends on medium, temperature, molecule size
dC/dx : concentration gradient
minus sign: flux runs down the gradient, from high C to low C

Друге Закони Фіка: як змінюється профіль у часі

Перший закон дає потік в певний момент часу; він не говорить, як змінюється концентрація з часом. Поєднуючи його з законом збереження маси – що входить у тонку пластину мінус те, що виходить, має дорівнювати зміні кількості речовини, накопиченої в цій пластині – отримуємо Другий закон Фіка, частковий диференціальне рівняння для C(x,t):

∂C/∂t = D · ∂²C/∂x² // такий самий математичний вигляд, як у 1-вимірному рівнянні теплопровідності // концентрація розтікається так само, як і температура Для миттєвого точкового джерела це рівняння має точне рішення: Гауссів розподіл, який розширюється з часом, але його висота піку падає, завжди зберігаючи загальну кількість речовини. Ширина цього Гауссова розподілу – і, більш загалом, приблизна відстань, на яку просувається фронт дифузії – масштабується нелінійно відносно часу, а як квадратний корінь від часу.

∂C/∂t = D · ∂²C/∂x²

// same mathematical form as the 1-D heat equation
// concentration diffuses exactly like temperature diffuses

Стан спокійний та закон Фаска в практиці

Коли система живиться на одній межі та відкачується з іншої достатньо довго, dC/dt дорівнює нулю всюди і профіль концентрації перестане змінювати форму, навіть якщо матерія продовжує проходити крізь неї - стан спокою. Через пластину товщиною L із фіксованими концентраціями C1 та C2 на двох гранях він стає точно лінійним і потік є постійним всюди:

J_steady = D · (C1 - C2) / L // однакова функціональна форма, як закон Ома (I = V/R) // та як теплопровід у стані спокою - потік є // різницею концентрацій, поділених на опір L/D Цей стан спокою проявляється в газообмінних мембранах, діалізаторних установках, трансдермальних лікарських патлах та профілях допінгу в напівпровідниках: інженери обирають товщину мембрани та матеріал спеціально, щоб досягти цільового потоку для заданої різниці концентрацій.

J_steady = D · (C1 - C2) / L

// same functional form as Ohm's Law (I = V/R) and
// as steady-state heat conduction - flux is a
// concentration difference divided by a resistance L/D

Де просте зображення перестає діяти

Закони Фіка припускають, що D є постійною величиною, але в концентрованих розчинах, під час розширення гелів або коли дифузія пов’язана з електричним полем (іони) чи хімічною реакцією, яка споживає дифундуючий вид, D також стає функцією концентрації, положення чи часу, і просте Гаусове рішення більше не застосовується точно. Системи реакцій-дифузії – де дифундуючий вид одночасно створюється або знищується – потребують додавання додаткового терміну джерела/поглинача до другого закону, а це незначне доповнення достатньо для утворення Торінгових патернів, механізму, що лежить в основі візерунків на хутроватому покритті тварин.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Fick's Laws of Diffusion і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.