Zasady Ficka dotyczące dyfuzji: Gradienty stężeń i przepływ

Dyfuzja to przypadkowy spacer wiersgów w przebraniu

Wyloju strumień barwnika do nieruchomego wody i rozprzestrzenia się, nawet jeśli nie ma prądu pchającego go. Każona cząsteczka jest losowo uderzana przez kolizje cieplne - przypadkowy spacer wiersgów - a choć ścieżka pojedynczej cząsteczki jest nieprzewidywalna, to statystyki miliardów z nich nie są. Ostry pasek nieuchronnie rozmywa się w szeroką, symetryczną krzywkę kształtu dzwonu i zawsze rozmywa się w tym samym kierunku: od wysokiej koncentracji do niskiej. Ta kierunkowość nie wynika z żadnej siły ciągnącej cząsteczki w dół; wynika ona z prostego liczenia. Więcej cząsteczek znajduje się w pobliżu szczytu niż na krawędziach, więc więcej przypadkowych kroków przenosi cząsteczki z szczytu niż w kierunku jego odległości.

Pierwsza Prawo Ficka: strumień z gradientu

Adolf Fick, w 1855 roku, wykorzystał matematyczną formę prawa przewodzenia ciepła Fouriera i zastosował ją do materii. Pierwsza Prawo Ficka głosi, że strumień J – ilość substancji przechodzącej przez jednostkową powierzchnię na jednostkę czasu – jest proporcyjna lokalnemu gradientowi stężenia:

J = -D · (dC/dx) J : strumień (mol na m² na s) D : współczynnik dyfuzji (m²/s) – zależy od medium, temperatury i rozmiaru cząstek molekularnych dC/dx : gradient stężenia minus znak: strumień płynie w kierunku spadku gradientu, od wysokiego C do niskiego C D nie jest stałą uniwersalną – jest właściwością pary (rozpuszczalnik, medium) przy danej temperaturze. W gazie D jest największy, rzędu 10⁻⁵ m²/s, ponieważ cząstki poruszają się na duże odległości między zderzeniami. W cieście spada do około 10⁻⁹ m²/s, ponieważ rozpuszczalnik jest stale wstrząsany przez gęsty pancerz sąsiednich cząstek. W ciele stałym lub gelem może spaść do 10⁻¹² m²/s lub mniej, ponieważ otaczająca struktura krystaliczna lub siatka polimerowa blokuje większość ścieżek wprost. Związek Stokes-Einstina wiąże D w cieście z temperaturą, lepkością i promieniem cząstek, dlatego mniejszy jon lub cieplejsze, rzadsze rozpuszczalnik dyfuzyjny szybciej.

J = -D · (dC/dx)

J : flux (mol per m² per s)
D : diffusion coefficient (m²/s) - depends on medium, temperature, molecule size
dC/dx : concentration gradient
minus sign: flux runs down the gradient, from high C to low C

Drugie Prawo Ficka: jak zmienia się profil w czasie

Pierwsze prawo daje przepływ w danym momencie i nie mówi, jak koncentracja zmienia się w czasie. Połącz je z zachowaniem masy – różnica między strumieniem do cienkiej warstwy a strumieniem z niej musi równać się zmianie ilości przechowywanej w tej warstwie – i otrzymasz Drugie Prawo Ficka, równanie różniczkowe częściowe dla C(x,t):

∂C/∂t = D · ∂²C/∂x² // ta sama forma matematyczna jak równanie ciepła 1-wymiarowe // koncentracja rozprzestrzenia się dokładnie tak jak temperatura rozprasza się Dla punktowego źródła w danym momencie to równanie ma dokładne rozwiązanie: funkcję Gaussa, która z czasem się rozszerza, a jej wysokość szczytowa maleje, zawsze zachowując całkowitą ilość substancji. Szerokość tej funkcji Gaussa – i bardziej ogólnie odległość, na jaką przesuwa się front dyfuzji – nie skaluje się liniowo z czasem, lecz jako pierwiastek kwadratowy z czasu:

∂C/∂t = D · ∂²C/∂x²

// same mathematical form as the 1-D heat equation
// concentration diffuses exactly like temperature diffuses

Stan równowagi i prawo Fickera w praktyce

Gdy system jest zasilany na jednym brzegu, a odprowadzany z drugiego po wystarczającym czasie, pochodna stężenia względem czasu (dC/dt) przyjmuje wartość zero wszędzie i profil koncentracji przestaje się zmieniać, mimo że substancja nadal przepływa przez niego – osiąga stan równowagi. Wzdłuż płytki o grubości L z ustalonymi stężeniami C1 i C2 na obu powierzchniach profil staje się dokładnie liniowy, a strumień jest stały w każdym punkcie:

J_stałe = D · (C1 - C2) / L // ta sama forma jak prawo Ohma (I = U/R) // i jak równowagi przeprowadzania ciepła – strumień jest // różnicą stężeń podzieloną przez oporność L/D Ten stan równowagi występuje w membranach wymiany gazów, urządzeniach dializacyjnych, transdermalnych plasterkach lekarskich i profilach dopingowania półprzewodników: inżynierowie dobierają grubość membrany i materiał, aby uzyskać docelowy strumień dla danej różnicy stężeń.

J_steady = D · (C1 - C2) / L

// same functional form as Ohm's Law (I = V/R) and
// as steady-state heat conduction - flux is a
// concentration difference divided by a resistance L/D

Gdzie obraz prosty się rozpadnie

Zastosowania Ficka zakładają stałą wartość D, ale w przypadku skoncentrowanych roztworów, obrzynających żelów lub gdy dyfuzja jest sprzężona z polem elektrycznym (jonami) lub reakcją chemiczną konsumującą gatunek rozprzestrzeniający się, sam D staje się funkcją stężenia, położenia lub czasu, a proste rozwiązanie gaussowskie nie ma zastosowania dokładnie. Systemy reakcji-dyfuzji - gdzie gatunek rozprzestrzeniany jest również tworzony lub niszczony - wymagają dodania terminu źródła/poboru do drugiego prawa, a to niewielkie dodanie wystarczy do wygenerowania wzorów Turinga, tego samego mechanizmu odpowiedzialnego za barwę sierści zwierząt.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Fick's Laws of Diffusion i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.