ФПГ Латтексна Газова: Навіє-Стокс з Булевих Частинок на Hexagon

Динаміка рідини з сітки істинно/неправдивих бітів

Модель FHP – названа на честь Юріеля Фріша, Бросла Хаслікера та Ів Пемоу, які представили її у 1986 році – є одним із найдивніших підходів до динаміки рідин, що залишається в історії: вона відновлює незмінювані рівняння Навіє-Стокса з сітки булевих частинок, які слідують абсурдно простим локальним правилам, без використання плаваючої десяткової крапки для тиску чи швидкості будь-де в моделі. Кожне місце на двовимірній гексагональній сітці може містити максимум одну частинку, що рухається в кожному з шести можливих напрямків (шестеро ребер гексагона), тому весь стан системи представляється лише невеликою кількістю бітів на кожне місце.

Два кроки, повторювані назавжди: потік і зіткнення

Кожен крок часу чергується з двома локальними операціями. Під час просування (потоку) кожне частинка переміщується на одну комірку решітки в напрямку, в якому вона вже рухається, приземляючись на відповідний сусідній сайт. У кроці зіткнення частинки, щойно прибули на ту саму позицію, перенаправляються відповідно до фіксованого правила таблиці, яке зберігає як кількість частинок, так і загальний імпульс на цій позиції – наприклад, дві частинки, які стикаються лоб у лоб (рухаються в протилежних напрямках), є класичним випадком зіткнення FHP, і правило розсіює їх по двох напрямках, перпендикулярних до їхнього початкового шляху руху, обраних за допомогою монетки, щоб уникнути нефізичного ухилу.

// one FHP time step, conceptually
propagate();   // every particle moves 1 site in its direction of travel
collide();     // at each site: apply the local rule table
               //   - conserves particle count at that site
               //   - conserves total momentum at that site
               //   - the specific outgoing directions are looked up from
               //     a small table indexed by which incoming directions
               //     were occupied

Чому гексагональна решітка, а не квадратова

Раніша сітка з газу на квадратній сітці (модель HPP, 1976 року) має фатальну ваду: її рівноважний розподіл недостатньо ізотропний, і четвертий ранг тензора, який з'являється при виведенні макроскопічної рівняння моменту, не утворює інваріантної щодо обертань форми, необхідної для рівнянь Нав’єр-Стокс – чотирикратна симетрія квадратної сітки протікає в поведінку рідини як залежність від напрямку. Решітка FHP має шістнадцятьразову симетрію, що виявляється точно достатньою дискретною обертальну симетрію для того, щоб тензор став ізотропним у межі неперервності. Це був конкретний проміжок, який зробив FHP дієздатним, де HPP зазнав невдачі – вибір геометрії сітки не є просто косметичним, а визначає правильність виникнення фізики.

Уточнення градієнтом

Окремої частинки не керує ніщо, як рівняння рідини — фізика проявляється лише після усереднення: середнє зайняття частинок на багатьох місцях розташування решітки та протягом багатьох кроків часу для отримання плавної змінної щільності та швидкості, і цей усереднений потік підкоряється незміненим рівнянням Нав’є-Стоксів до корекції. Ця корекція — тонкість, яку варто знати: рівняння імпульсу FHP не є ідеально галілейським, оскільки розподіл частинок решітки не зовсім відповідає Максвелову-Розталу. Це проявляється як множники залежні від щільності g(ρ) перед нелінійним термом переносу, які потрібно виправити (або аналітично, або чисельно), щоб відновити точну форму рівнянь Нав’є-Стоксів замість приблизної решітки.

Від решіткового газу до методу Лотхема-Біoltцманна

Числові зайнятості FHP, що базуються на булевих значеннях, роблять модель вбудованою у шум — будь-яка макроскопічна величина, яку ви отримуєте, насправді є статистичною середньою за рахунок кількості частинок, і для отримання плавної швидкості поля потрібно проводити просторову або часову усереднення по багатьох сайтах або багатьох пробіках, що є дорогим. Метод Лотхема-Біoltцманна (LBM), розроблений у роки після FHP, замінює булеві зайнятості в кожному напрямку на дійсно чисельні одночастинкові розподільчі функції — по суті, безпосередньо попередньо усереднюючи булеву популяцію замість того, щоб усереднювати ансамбль булевих симуляцій після факту. LBM зберігає основну ідею FHP (фіксована решітка, локальне потокове переміщення та правила зіткнення, відновлення Нав'єр-Стоксів у межах граничного режиму), але усуває статистичний шум, і саме LBM, а не оригінальна булева модель FHP, потрапила у серйозні обчислювальні гідродинамічні застосування для складних геометрій, пористих середовищ та багатофазного потоку.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте FHP Lattice Gas і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.