Поширення Помилок та Невизначеності

Жодна вимірювання не є точним

Кожне фізичне вимірювання – довжина з лінійки, напруга з ваттметра, маса зі штангенциркуля – супроводжується невизначеністю, яка зазвичай вказується як стандартне відхилення сигма навколо виміряного значення. Якщо результат z обчислюється з кількох таких вимірювань через формулу z = f(x, y, …), природнє питання таке: наскільки невизначений z? Просто підставляти центральні значення x і y у f та ігнорувати їх розкид – це не відповідь; це викидає саме ту інформацію, яка вам потрібна.

Перша формула розповсюдження

Розширте f у серії Телона вздовж виміряної (x, y) та збережіть лише лінійний член — гарне наближення, коли невизначеності невеликі порівняно з тим, як швидко змінюється f поблизу цієї точки. Потім дисперсія z безпосередньо випливає з того, як дисперсія трансформується під час лінійного відображення:

z = f(x, y) (x, y незалежні) σ_z² = (df/dx)² * σ_x² + (df/dy)² * σ_y² якщо x, y корельовані, додайте: + 2 * (df/dx) * (df/dy) * cov(x, y) Два підручники спеціальні випадки випливають безпосередньо з цього правила. Для суми або різниці z = x ± y, обидва часткові похідні дорівнюють 1, тому абсолютні невизначеності додаються в квадраті: σ_z = √(σ_x² + σ_y²). Для добутку або відношення z = xy або z = x/y, відносні невизначеності додаються в квадраті замість цього: (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)². У будь-якому випадку невизначеності з незалежних джерел ніколи не просто не додаються — вони додаються в квадраті, тому що зазвичай один домінуючий джерело помилки переважає над кількома меншими, а не довгий список порівнянних внесків, які лінійно накопичуються.

z = f(x, y)                     (x, y independent)

sigma_z^2 = (df/dx)^2 * sigma_x^2  +  (df/dy)^2 * sigma_y^2

if x, y correlated, add:  + 2 * (df/dx) * (df/dy) * cov(x, y)

Перевірка за допомогою Монте Карло

Аналітична формула передбачає лінійність, але ви можете повністю унектися цього припущення: накидайте тисячі зразків x із нормального розподілу зі середнім значенням х̄ та стандартним відхиленням сигма_x, і так само для y, обчислюйте z = f(x, y) для кожної вибіркової пари, і аналізуйте емпіричне стандартне відхилення отриманих значень z. Для дещо нелінійного f та невеликих-помірних сигма_x, сигма_y, стандартне відхилення Монте Карло збігається з тим, що передбачає аналітична формула — задовірна та справді корисна перевірка на розумність, оскільки вона валідує лінійну апроксимацію без необхідності символьного диференціювання будь-чого.

Розкладання Тейлора: локальна апроксимація

Розкладання Тейлора є лише локальною, лінійною апроксимацією, тому воно зазнає невдачі, коли f значно викривлений у межах, охоплених вхідними невизначеностями. Відношення близьке до нуля, кут близький до точки максимальної тригонометричної кривизни або просто велика сигма відносно швидкості зміни f — все це робить справну розподіл z спотвореним, іноді дуже сильно, і навіть бімодальним. У цих випадках звітне значення сигми_z лінійної формули все ще є числом, але воно помилкове, і лише Монте-Карло відбору вибірок справної нелінійної f розкриває реальну форму невизначеності.

Корельовані входи

Якщо x і y вимірюються з використанням спільного систематичного ефекту — одного й того ж невідкаліброваного приладу, однакової віднімання фонового шуму — вони корельовані, і пропуск терміну коваріації тихо недооцінює або переоцінює сигма_z, залежно від знаку коваріації та знаків часткових похідних. Позитивна кореляція в поєднанні з частковими похідними одного знаку посилює помилки замість часткового скасування, що пояснює, чому у фізиці та метрології завжди звітують про повну матрицю коваріацій замість списку незалежних сигма, коли вимірювання використовують один й той самий інструмент або калібрування.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Error Propagation & Uncertainty і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.