Rozprzestrzenianie się błędów i niepewność

Żaden pomiar nie jest dokładny

Każdy pomiar fizyczny – od długości mierzony liną, napięcie mierzone amperometrem, aż po masę ważoną wagą – wiąże się z pewną niepewnością, zwykle podawana jako odchylenie standardowe sigma wokół wartości zmierzonej. Gdy wynik z jest obliczany na podstawie kilku takich pomiarów za pomocą wzoru z = f(x, y, …), naturalne pytanie brzmi: jak duża jest niepewność wyniku z? Po prostu wstawianie centralnych wartości x i y do f i ignorowanie ich rozrzutu nie daje odpowiedzi – odrzuca dokładnie tę informację, której potrzebujesz.

Pierwsza-rzędowa formuła propagacji

Rozwiń f w szereg Taylora wokół zmierzonych (x, y) i zachowaj jedynie wyraz liniowy – jest to dobra aproksymacja, gdy niepewności są małe w porównaniu z tym, jak szybko f zmienia się w pobliżu tego punktu. Wówczas wariancja z obserwowanej wartości zależy bezpośrednio od transformacji wariancji pod działaniem mapy liniowej:

z = f(x, y) (x, y niezależne) sig_z^2 = (df/dx)^2 * sig_x^2 + (df/dy)^2 * sig_y^2 jeśli x i y są skorelowane, dodaj: + 2 * (df/dx) * (df/dy) * cov(x, y) Dwa przypadki szczególne z podręczników wynikają bezpośrednio z tej reguły. W przypadku sumy lub różnicy, z = x ± y, oba pochodne cząstkowe wynoszą 1, więc niepewności bezwzględne dodawane są w kwadraturze: sig_z = sqrt(sig_x² + sig_y²). W przypadku iloczynu lub ilorazu, z = xy lub z = x/y, niepewności względne dodawane są w kwadraturze zamiast tego: (sig_z/z)² = (sig_x/x)² + (sig_y/y)². W każdym przypadku niepewności z niezależnych źródeł nigdy nie sumują się po prostu – dodawane są w kwadraturze, dlatego zazwyczaj jeden dominujący czynnik błędu przeważa nad kilkoma mniejszymi, zamiast długiej listy porównywalnych przyczyn, które kumulują się liniowo.

z = f(x, y)                     (x, y independent)

sigma_z^2 = (df/dx)^2 * sigma_x^2  +  (df/dy)^2 * sigma_y^2

if x, y correlated, add:  + 2 * (df/dx) * (df/dy) * cov(x, y)

Sprawdzenie za pomocą Monte Carlo

Wzór analityczny zakłada liniowość, ale możesz całkowicie z niej zrezygnować: wygeneruj tysiące próbek x z rozkładu normalnego o średniej wartości x̄ i odchyleniu standardowym sigma_x, oraz analogowo dla y, oblicz z = f(x, y) dla każdej sparowanej próbki, a następnie przeanalizuj empiryczne odchylenie standardowe uzyskanych wartości z. Dla łagodnie nieliniowej funkcji f i małych do umiarkowanych wartości sigma_x i sigma_y, odchylenie standardowe Monte Carlo zbiega się do tego samego numeru, co przewiduje wzór analityczny – satysfakcjonujące i naprawdę przydatne sprawdzenie, ponieważ weryfikuje liniową aproksymację bez konieczności symbolicznego różniczkowania czegokolwiek.

Gdzie formuła cicho zawodzi

Rozwinięcie Taylora jest jedynie lokalną, liniową przybliżeniem, dlatego zawodzi, gdy f jest znacząco zakrzywione w zakresie obejmującym niepewności wejściowe. Stosunek zbliżający się do mianownika, który może być bliski zeru, kąt zbliżający się do punktu maksymalnej krzywizny trygonometrycznej lub po prostu duże sigma w stosunku do szybkości zmiany f – wszystko to powoduje, że prawdziwa dystrybucja z jest skośna, a czasami nawet dwumodalna. W takich przypadkach zgłaszane sigma_z z formuły liniowej nadal jest liczbą, ale jest błędne, a jedynie próbkowanie Monte Carlo rzeczywistej, nieliniowej funkcji f ujawnia jej prawdziwą postać niepewności.

Związek danych wejściowych

Jeśli x i y są mierzone z powodu wspólnego efektu systematycznego – tego samego wadliwego instrumentu, tej samej korekty błędu tła – są ze sobą powiązane, pomijanie członu kowariancji cicho zawyża lub poniżej oszacowuje sigma_z w zależności od znaku korelacji i znaków pochodnych cząstkowych. Pozytywna korelacja połączona z pochodnymi cząstkowymi o tym samym znaku wzmacnia błędy zamiast częściowo je niwelować, dlatego też w fizyce i metrologii, przy opracowywaniu budżetów niepewności, zawsze raportuje się pełną macierz kowariancji zamiast listy niezależnych sigma, gdy pomiary pochodzą z tego samego instrumentu lub kalibracji.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Error Propagation & Uncertainty i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.