Модель Едена проти DLA: Два Правила Випадкового Росту, Два Форми

Дві правила росту, дві дуже різні форми

Ростіть кластер один частинка за раз і обране вами правило росту визначає все про кінцеву форму. Додавайте частинки в рівномірно випадковому місці на межі кластера, і ви отримаєте модель Едена, запропоновану біофізиком Меррі Діном у 1961 році як модель того, як пухлина або бактеріальна колонія заповнює простір: результат компактний, приблизно круглий, з межею, яка шорстнішає з часом, але ніколи не розвиває дірок чи гілок.

Замість цього дозвольте частинкам випадково прибувати з далекої відстані та прилипати, як тільки торкаються кластера, і ви отримаєте дифузійно-обмежену агрегацію (DLA), впроваджену Томасом Віттеном і Леонардом Сандером у 1981 році. Результат виглядає зовсім іншим: розріджене, павукоподібне самосхожісне дерево з гілками та порожнім простором між ними. Однак базовий інгредієнт – випадкове додавання частинок – дає один результат у вигляді диска, а інший – у вигляді фракталу.

Чому DLA гілки: ефект скринінгу

Механізм – це петля зворотного зв’язку. Випадковий Walker, що приходить здалеку, набагато ймовірніше потрапить у вирослий кінець кластеру, ніж блукати по вузькій щілині між двома існуючими гілками — вхідний потік Walkerів найвищий біля кінців та найнижчий у вогнутих областях, що є точною геометрією поля дифузії навколо поглинального об’єкта (формально поле концентрації дотримується рівняння Лапласа з кластером як поглинальним межею, отже DLA є прикладом лапласіанського зростання). Як тільки кінець трохи випереджає, він захоплює непропорційну частку наступних Walkerів, продовжує рости вперед і захищає регіон позаду нього — нестабільність, що призводить до безладу, яка створює гілки фрактальних крил замість гладкої фронту.

Eden model:  pick a random site on the boundary  ->  fill it        (local rule, ignores far-away geometry)
DLA:         launch a walker, random-walk it in  ->  stick on contact (long-range diffusion field picks the site)

Вимірювання фракційної розмірності

Збірна маса кластера «Едем» зростає як площа: M ~ R^2 у двох вимірах, тому має звичайну евклідову розмірність диска, D = 2. Його межа стає шорсткою відповідно до універсальної класи Кардар-Парізі-Чжан (КПЗ), тієї самої статистичної сім’ї, яка описує фронти горіння паперу та краї бактеріальних колоній — ширина інтерфейсу зростає як степеня відносно часу перед насиченням, що є сигнатурою, подільною для дивовижної кількості несхожих процесів росту.

З іншого боку, маса кластера DLA зростає нелінійно з радіусом: M ~ R^D, де D ≈ 1.71 у двох вимірах (приблизно 2.5 у трьох). D не є цілим числом, оскільки кластер є фракталом — самоподібною гілкуючою структурою на кожному рівні, з такою ж кількістю порожнього простору, як і заповненого. Ви можете оцінити D безпосередньо від симульованого кластера за допомогою сканування методом коробки-рахунку або радіусу вивороту: побудуйте графік логарифма маси проти логарифма радіуса для зростаючих підкластерів і нахил є D.

Розташування DLA в природі

Рой зростання Лапласіана – це не просто дивовижка з комп’ютерної науки – це правильний безперервний опис, коли зростання обмежене розповсюдженням деякої перенесеної кількості до рудної фронту. Експерименти з електроосаду (іони металів, що розповсюджуються до ростутього електрода) створюють кристали схожі на DLA в лабораторії. Ліхтенбергівські фігури – це гілкуючі візерунки горіння, залишені високовольтним діелектричним руйнуванням акрилу або деревини – відповідають тим самим статистичним показникам, оскільки електричне поле біля провідного наконечника відіграє роль розповсюджувального поля. Кристали мінералів, що ростуть вздовж розломів скель, в’язке пальосування, коли низьков’язка рідина впорскується у високов’язку (нестабільність Сафмана-Тейлора), і деякі моделі морфології коралів та бактеріальних колоній під обмеженим живленням – всі вони належать до однієї універсальної класифікації.

Реалізація обох моделей на сітці

Обидва моделі відносно недорогі для симуляції на решітці. Модель Едена потребує лише списку порожніх межевих позицій (сусідів кластера); випадково обирається одна з них і заповнюється, а потім оновлюється список межевих позицій. DLA потребує випадкового пересувника, запущеного навколо кластера з великого кола, який рухається до тих пір, поки не торкнеться зайнятої клітинки (залипання) або не віддалиться занадто далеко (відродження) - припинення руху пересувника через заданий радіус ухилу запобігає безкінечному проведенню симуляції на рідкісних далеких вигулах. Обидва алгоритми мають амортизовану роботу O(1) на додавання частинки, якщо пошук межевих/зайнятих позицій здійснюється за допомогою хеш-набору, що пояснює можливість решітці рости кластером з кількох тисяч частинок у реальному часі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Random Growth і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.