Model Edena vs DLA: Dwa Zasady Losowego Wzrostu, Dwa Kształty

Dwa prawa wzrostu, dwie zupełnie różne formy

Rozwijaj klastr jeden element na raz i wybrana przez Ciebie zasada wzrostu decyduje o wszystkim o końcowym kształcie. Dodawaj elementy w losowo równomiernym punkcie na obrzeżu klastra, a otrzymasz model Edena, zaproponowany przez biofizyka Murray'ego Edena w 1961 roku jako model tego, jak guzek lub kolonia bakterii wypełnia przestrzeń: rezultat jest kompaktowy, w przybliżeniu okrągły i z granicą, która eroduje z czasem, ale nigdy nie tworzy dziur ani gałęzi.

Zamiast tego pozwól elementom wędrować z daleka jako losowemu chodźcowi i przyklej się do klastra natychmiast po dotknięciu go, a otrzymasz agregację ograniczoną do dyfuzji (DLA), wprowadzony przez Thomasa Witena i Leonarda Sandera w 1981 roku. Rezultat wygląda zupełnie inaczej: rzadki, pajęczasty, samopodobny drzewo gałęzi z pustą przestrzenią między nimi. To samo podstawowe składnik - losowe dodawanie elementów - ale jeden model daje dysk, a drugi daje fraktal.

Dlaczego gałęzie się rozgałęzają: efekt przesiewający

Mechanizm opiera się na pętli sprzęgającej. Losowy ruch drogą przybywający z daleka jest znacznie bardziej prawdopodobne, że uderzy w wystającą końcówkę klastra niż rozprzestrzeni się przez wąski przerw pomiędzy istniejącymi gałęziami – strumień ruchów przybywających jest najwyższy w pobliżu końcówek i najniższy w obszarach wypukłych, co odpowiada geometrii pola dyfuzji wokół absorbującego obiektu (formalnie pole koncentracji obeys równaniu Laplace'a z klastrem jako absorpcją, a DLA jest przykładem wzrostu opartego na Laplace’u). Gdy końcówka lekko wyprzedzi, pochłania niezrównane znaczenie kolejnych ruchów, dalej się wyprzedza i chroni obszar za nią – niestabilna reakcja łańcuchowa, która wytwarza rozgałęzione ramiona fraktalne zamiast gładkiego frontu.

Eden model:  pick a random site on the boundary  ->  fill it        (local rule, ignores far-away geometry)
DLA:         launch a walker, random-walk it in  ->  stick on contact (long-range diffusion field picks the site)

Pomiar wymiaru fraktalnego

Masa klastra Edena rośnie podobnie jak jego pole powierzchni: M ~ R^2 w dwóch wymiarach, więc posiada zwykły wymiar euklidesowy dysku, D = 2. Jego brzeg staje się szorstki zgodnie z klasą uniwersalności Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), tą samą rodziną statystyczną, która opisuje fronty płonącego papieru i brzegi kolonii bakterii – szerokość interfejsu rośnie jako funkcja potęgowa w czasie przed nasyceniem, cecha współdzielona przez zaskakująco różnorodne, niezwiązane ze sobą procesy wzrostu.

Masa klastra DLA, z drugiej strony, rośnie nie-liniowo wraz z jego promieniem: M ~ R^D, gdzie D ≈ 1.71 w dwóch wymiarach (około 2.5 w trzech). D nie jest liczbą całkowitą, ponieważ klaster jest fraktalem – samopodobną strukturą rozgałęzienia na każdym poziomie, gdzie ilość przestrzeni wypełnionej jest równa ilości przestrzeni puste, niezależnie od tego, jak bardzo zbliżasz się. Można go oszacować bezpośrednio z symulowanego klastra za pomocą skanu box-counting lub promienia wyrotacji: narysuj wykres log(masy) w funkcji log(promienia) dla rosnących podklastrów i nachylenie jest równe D.

Gdzie DLA występuje w naturze

Wzrost laplasowy nie jest jedynie ciekawostką z zakresu informatyki – jest to prawidłowe opis ciągłego, gdy wzrost jest ograniczony przez dyfuzję jakiegoś transportowanego składnika do przesuwającej się fronty. Eksperymenty elektroosadowe (jonów metalowych dyfuzeujących do rosnącej elektrod) produkują dendryty podobne do DLA w laboratorium. Figury Lichtenberga, tworzące się wzory rozszczepień po przebudowie dielektrycznej pod wysokim napięciem w akrylu lub drewnie, zachowują tę samą statystykę, ponieważ pole elektryczne w pobliżu końcówki przewodzącej odgrywa rolę pola dyfuzyjnego. Dendryty minerałów rosnące wzdłuż szczelin w skałach, cieczowe palce (zjawisko wyżarzania się niskoprzysilegowego płynu włożonego w wysokoprzysilegowy – niestabilność Saffmana-Taylora), a także niektóre modele morfologii kolonii koralowych i bakterii pod ograniczeniem dostępności składników odżywczych, wszystkie należą do tej samej klasy uniwersalności.

Implementacja obu modeli na siatce

Oba modele są tanie w symulacji na siatce. Model Eden potrzebuje tylko listy aktualnie pustych miejsc graniczących z klastrem; wybierz jedno miejsce losowo i wypełnij je, a następnie zaktualizuj listę granic. Model DLA wymaga wydania losowego wędraka z dużego okręgu wokół klastra, który porusza się aż do momentu dotknięcia zajętego komórki (przyklejanie się) lub oddalenia się o zbyt dużą odległość (odrodzenie) – zabicie wędraka wczesnym etapem z promieniem ucieczki zapobiega niekończonemu trwaniu symulacji na rzadkich, odległych wybiegach. Oba algorytmy mają koszt O(1) amortyzowany dla każdego dodanego cząsteczki, jeśli wyszukiwanie granic/zajętości jest zbiorem hashowym, co wyjaśnia, dlaczego płótno powyżej może rosnąć klastrem kilku tysięcy cząstek w czasie rzeczywistym.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Random Growth i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.