ДЛЯ ФРАКТАЛЬНИХ ДЕНДРИТІВ: РОЗМНОЖЕННЯ ВІД ВИПАДКОВИХ ХОДІВ

Блукайте, торкайтесь, прилипайте

Фрактальна агрегація з обмеженням дифузії (DLA), представлена Томасом Віттеном та Леонардом Сандером у 1981 році, є одним із найпростіших випадкових процесів, який надійно генерує гілкування та фрактальні структури. Правило складається з трьох частин: починайте з одного фіксованого початкового зерна. Випускайте нове зерно з кільця розмноження, розташованого далеко від кластера, і дозвольте йому здійснювати випадковий рух, роблячи один випадковий крок за раз. Коли це блукаюче зерно торкається будь-якої частини існуючого кластера, воно назавжди прилипає до цієї позиції та стає частиною кластера. Повторіть це з новим зерном з кільця, по черзі.

cluster = { seed }
loop:
  p = random position on the spawn ring
  while p is not adjacent to any cluster particle:
      p += random_unit_step()          // random walk, one cell at a time
      if p wanders too far away: discard p, spawn a new one
  cluster.add(p)                       // stick permanently on contact
  grow spawn ring radius as the cluster grows

Чому результат виглядає тонким, а не круглим

На перший погляд, здається, що випадкові частинки, падаючи на кластер з усіх боків, повинні утворити міцну, приблизно круглу масу. Однак насправді відбувається протилежне: кластери DLA ростуть у вигляді тонких, гілколоподібних відгалужень із широкими порожніми прорідами між ними. Причина полягає в позитивній відгуку між експонуванням та швидкістю зростання. Частинка, яка трохи виступає з решти кластера, статистично набагато ймовірніше потрапить під вплив випадкового переміщувача, ніж частинка, затиснута у вузькому проріді, оскільки переміщуваний частинка найчастіше торкається першого що зустрічається об’єкта – і таким об'єктом майже завжди є виступаючий кінець. Таким чином, кінчики ростуть швидше, що змушує їх ще більше виступати, що, в свою чергу, прискорює їх подальший ріст – це самопідсилювальна нестабільність, відома як нестабільність Мулліна-Секерки у ширшому контексті формування візерунків, тоді як глибокі проріди між гілками ефективно захищені від більшості прибулих частинок і рідко заповнюються.

Фракційний розмір близько 1.71

Оскільки кластер переважно складається з порожнього простору, що пронизаний тонкими гілками, його маса не масштабується квадратом радіуса так, як це робить тверда 2D диска. Замість цього маса M і радіус R слідують за законом степені, M ~ R^D, де D - фракційний розмір кластера. Для 2D ДЛА (диффузійного латерального агрегації) численні симуляції виміряли D ≈ 1.71 – строго між 1 (проста крива) та 2 (заповнена область), що точно визначає, наскільки порожнішим є гіллястий структурний елемент порівняно з твердим диском такого ж радіуса. Це значення виявляється надзвичайно послідовним у симуляціях незалежно від використовуваної решітки для їх проведення, що є однією з причин, чому ДЛА розглядається як справді універсальна модель, а не як артефакт будь-якої конкретної реалізації.

Де ця структура зустрічається в природі

Одна й та ж нестабільність ‘кінець-проміжки’ регулює широкий спектр реальних процесів росту, обмежених дифузією певної кількості до поверхні. Електроосадовий відкладення металів у розчині сульфату міді створює гілки дендритів, які напрочуд схожі на кластери ДЛА, що моделюються. Мінеральні дендрити, що ростуть вздовж тріщин у камені, крижані візерунки, що утворюються на холодному вікні, та складки в потоках в'язких рідин, які вводяться в більш в’язку рідину (потік Геле-Шоу, тісно пов’язаний з нестабільністю Сафмана-Тейлора), всі поділяють один і той самий основний механізм: ріст обмежується швидкістю дифузії речовини, що викликає ріст – іонів, тепла або тиску рідини – до поверхні, а будь-яка частина поверхні, яка виступає на трохи більше, отримує ще більше цієї речовини та росте ще швидше.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Diffusion-Limited Aggregation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.