DLA Drzewiaste Rozgałęzienia Dendrytowych: Wzrost Gałęzi Z Losowych Przechodów

Wędruj, dotykaj, przyczepiaj się

Agregacja ograniczona dyfuzją (DLA), wprowadzona przez Thomasa Wittena i Leonarda Sandera w 1981 roku, to jeden z najprostszych procesów losowych, który niezawodnie generuje rozgałęziające się struktury fraktalne. Zasada ta składa się z trzech elementów: zacznij od pojedynczego, ustalonego ziarna. Uwolnij nowe ziarno z pierścienia spawn oddalonego od klastra i pozwól mu wykonać losowy ruch, przemieszczając się o jeden losowy krok na raz. W momencie, gdy to wędrujące ziarno dotknie jakiejkolwiek części istniejącego klastra, przyczepia się ono trwale do tej pozycji i staje się częścią klastra. Powtórz to z nowym ziarnem z pierścienia, powtarzaj to raz za razem.

cluster = { seed }
loop:
  p = random position on the spawn ring
  while p is not adjacent to any cluster particle:
      p += random_unit_step()          // random walk, one cell at a time
      if p wanders too far away: discard p, spawn a new one
  cluster.add(p)                       // stick permanently on contact
  grow spawn ring radius as the cluster grows

Dlaczego rezultat jest chudełkowaty, a nie okrągły

Intuicyjnie można się spodziewać, że losowo padające na zlepki cząsteczki z wszystkich kierunków budują zwartą, w przybliżeniu okrągłą grudkę. W praktyce jednak zdarza się coś zupełnie przeciwnego: zlepki DLA rozrastają się w cienkie, drzewiastych gałęzie z szerokimi pustymi przestrzeniami między nimi. Przyczynia się do tego pozytywna informacja zwrotna pomiędzy ekspozycją a szybkością wzrostu. Cząsteczka wystając lekko poza resztę zlepka jest statystycznie znacznie bardziej prawdopodobne, że zostanie uderzona przez losowo poruszający się cząstek niż cząsteczka ukryta w wąskim gapie, ponieważ losowo poruszająca się cząsteczka prawdopodobnie dotknie pierwszego napotkanego obiektu – a pierwszym obiektem, który napotyka jest prawie zawsze wystawa. Dlatego końce rosną szybciej, co powoduje ich dalsze wystawianie się na zewnątrz, co z kolei jeszcze przyspiesza ich wzrost, tworząc samonapędzającą się niestabilność znaną jako niestabilność Mullinsa-Sekerki w szerszym kontekście formowania wzorców, podczas gdy głębokie przestrzenie między gałęziami są skutecznie chronione przed większością przychodzących cząstek i rzadko wypełniane.

Wartość wymiaru fraktalnego bliska 1,71

Ponieważ klastr jest w dużej mierze pustą przestrzenią przesykaną cienkimi gałęziami, jego masa nie skaluje się ze wzrostem promienia w sposób, w jaki robiłoby to masywne, 2D-tłok, a więc masa M i promień R przestrzegają prawa potęgowego, M ~ R^D, gdzie D jest wymiarem fraktalnym klastra. Dla 2D DLA, rozległe symulacje zmierzyły D ≈ 1,71 – ściśle pomiędzy 1 (prosta krzywa) a 2 (wypełniona powierzchnia), precyzyjnie określając, jak dużo bardziej pusta jest struktura rozgałęziająca się niż masywny dysk o tym samym promieniu. Ta wartość jest niezwykle spójna w różnych symulacjach niezależnie od użytego siatki, co jest jedną z przyczyn, dla których DLA jest uważane za autentycznie uniwersalny model, a nie za artefakt związany z konkretną implementacją.

Gdzie można zaobserwować ten wzór w naturze

Taki sam mechanizm niestabilności tip-outraces-gap reguluje szereg rzeczywistych procesów wzrostu ograniczonych przez dyfuzję pewnej substancji w kierunku powierzchni. Elektroosadzanie metali w roztworze siarczanu miedzi produkuje rozgałęzione dendryty, które zaskakująco przypominają klastry symulowane DLA. Dendryty mineralne rosnące wzdłuż pęknięć skalnych, wzory lodu tworzące się na zimnym oknie oraz wzorce „palców” pojawiające się podczas iniekcji cieczy o mniejszej lepkości do cieczy o większej lepkości (przepływ Hele-Shaw, ściśle związany z niestabilnością Saffmana-Taylor) wszystkie dzielą ten sam podstawowy mechanizm: wzrost jest ograniczony przez szybkość dyfuzji substancji powodującej wzrost – jonów, ciepła lub ciśnienia cieczy – do powierzchni, a każdy fragment powierzchni wystający nieznacznie otrzymuje więcej tej podaży i rośnie jeszcze szybciej.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Diffusion-Limited Aggregation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.