Дифузійно-обмежена агрегація: Як випадкові ходи будують фрактали

Випадковий рух з однією основною правилами

Дифузійно-обмежена агрегація, введена Томасом Віттеном та Леонардом Сандером у 1981 році, починається з одного фіксованого початкового зерна. Нові частинки випускаються одна за одною з великої відстані і виконують випадковий рух – непередбачуване блукання, як у випадку руху пилку у воді – до тих пір, поки вони не відірвуться надто далеко і не будуть відкинуті, або не потрапляють на місце поруч із зростаючим кластером, де вони закріплюються назавжди. Назва походить від того, що швидкість росту повністю визначається швидкістю дифузії частинок до кластера, а не будь-якими хімічними реакціями в місці контакту.

Чому кластер має фрактальну структуру, а не диск

Якщо частинки заповнювалися б рівномірно, ви отримали б диск. Але вони цього не роблять через ефект екранування: зовнішні кінці кластера – перше, що зустрічає приходячий «розвідник», тому вони перехоплюють переважну більшість нових частинок до того, як «розвідник» зможе зайти в виглибуватися між двома гілками. Коли кінець трохи витягується вперед, він захоплює непропорційну кількість майбутніх прибульців і продовжує рости швидше – нестабільний, самопідсилювальний процес. Це дискретна, частинкова інстанція зростання Лапласа, та сама нестабільність, що керує візиочним пальцемуванням та електродепозицією. У двох вимірах результат – кластер із фрактальною мірою приблизно 1,71, яку можна виміряти, підраховуючи, як кількість зайнятих місць у радіусі r масштабується з r.

N(r) ~ r^D          N = number of occupied sites within radius r
                     D ~ 1.71 for 2D DLA (a solid disk would give D = 2)

Параметр прилипання

При ймовірності прилипання 1, шальок миттєво притягується до будь-якого зайнятого сусіда, що максимально посилює ефект екранування та створює найбільш відкриті, розріджені диференти. Зменшення параметра прилипання дозволяє шальку відскакувати від сусідства кластера багаторази, перш ніж нарешті притягуватися, що дає їй більше шансів випадково рухатися в проміжки між гілками. Це заповнює структуру та утворює більш щільні, менш витончені кластери – той самий регулятор, який використовується на цьому сайті в симуляції.

Де проявляється ДЛА в природе

Такая же геометрия наблюдается везде, где рост ограничен диффундирующим количеством вещества, достигающим переднего края: металлические дендриты при электроосадке (нанесение меди или цинка из раствора), висковное разветвление, когда тонкий флюид закачивают в более толстый в узком канале по типу ячейки Хеле-Шоу, минеральные дендриты, растущие в трещинах в скалах, и разветвленные электрические разряды, известные как литценбергские фигуры. Снежинки и некоторые бактериальные колонии также демонстрируют сходные явления разделения концов ДЛА, хотя их рост также подвержен влиянию дополнительных факторов, таких как поверхностное натяжение и анизотропные кристаллографические решетки.

Ефективне моделювання

Для досягнення оптимальної продуктивності при моделюванні електростатичних взаємодій, необхідно враховувати кілька ключових факторів. По-перше, зменшення кількості обчислень, які потрібно виконати, може значно вплинути на час моделювання. Це можна зробити, використовуючи методи приблизних розрахунків, такі як метод Монте Карло або метод граничної елементи, замість точних числових методів. По-друге, оптимізація алгоритмів, які використовуються для обчислення сил притягання та відштовхування між зарядами, може значно підвищити ефективність. Нарешті, використання потужного комп'ютера з великим обсягом оперативної пам’яті дозволить моделювати складні системи з великою кількістю зарядів.

launch walker on a circle just outside the cluster's current radius
while walker is alive:
  step = randomDirection() * stepSize
  walker.pos += step
  if distance(walker.pos, origin) > killRadius:
    discard walker; launch a new one          // wandered off, save time
  if any of 8 neighbours is occupied:
    if random() < stickProbability:
      occupy(walker.pos); grow cluster radius if needed
      break
    // else: bounce off and keep walking

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Diffusion-Limited Aggregation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.