Agregacja Ograniczona Dążnością

Losowa chód z jednym klejem

Agregacja ograniczona przez dyfuzję, wprowadzona przez Thomasa Witena i Leonarda Sandera w 1981 roku, rozpoczyna się od pojedynczego stałego ziarna nasadowego. Nowe cząstki są uwalniane jedna po drugiej z daleka i wykonują losowy ruch – brązowy, niezwiązywany pod względem kierunku, taki sam jak drganie pyłków w wodzie – aż do momentu, gdy zbyt daleko się oddalają i zostaną odrzucone, lub stykają się z miejscem przylegającym do rosnącego skupiska, gdzie przyczepiają się na stałe. Nazwa pochodzi od faktu, że szybkość wzrostu jest całkowicie ustawiana przez to, jak szybko cząstki dyfundują do skupiska, a nie przez jakąkolwiek chemię w punkcie kontaktu.

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Dlaczego skupisko jest fraktalne, a nie dyskiem

Jeśli cząstki wypełniałyby równomiernie przestrzeń, otrzymalibyśmy dysk. Tak się jednak nie stało, z powodu efektu ekranowania: wystające końce skupiska to pierwszą rzecz, z jaką natrafia nowy węzeł, więc przechwytują większość nowych cząstek przed tym, by węzeł zagłębił się w wypukłą szczelinę między dwoma gałęziami. Gdy końcówka lekko wyprzedza, pochłania niezrównane ilości przyszłych przybywców i rośnie jeszcze szybciej – niestabilny, wzmacniający się samoistnie proces. Jest to dyskretna, cząsteczkowa forma wzrostu Laplisa, która rządzi również wizgowianym rozprzestrzenianiem się cieczy i elektrolizą. W dwóch wymiarach otrzymujemy skupisko o wymiarze fraktalnym około 1,71, mierzącym się poprzez liczenie, w jaki sposób liczba zajętych miejsc w promieniu r skaluje się z r.

N(r) ~ r^D          N = number of occupied sites within radius r
                     D ~ 1.71 for 2D DLA (a solid disk would give D = 2)

Parametr przyczepności

Przy wartości 1 parametr przyczepności, ruchomy element natychmiast przylega do dowolnego zajętego sąsiada, co wzmacnia efekt osłabiania i generuje najbardziej otwarte, rzadkie dendryty. Obniżenie parametru przyczepności powoduje, że ruchomy element wielokrotnie odbija się od sąsiedztwa klastra, zanim ostatecznie się przyłączy, dając mu więcej szans na losowy spacer w przestrzeniach między gałęziami. To wypełnia strukturę i generuje widocznie gęstsze, mniej smukłe klastry – ten sam suwak używany w symulacji dostępnej na tej stronie.

Gdzie można obserwować DLA w naturze

Ta sama geometria pojawia się wszędzie tam, gdzie wzrost jest ograniczony przez rozpraszającą ilość substancji docierającą do frontu: dendryty metali podczas elektrolessowania (ocynkowanie miedziane lub cynkowe z roztworu), goniace się wydzielanie cieczy w przypadku pompowania cienkiej cieczy do cieczy o większej gęstości w wąskiej komorze Hele-Shaw, dendryty minerałów rosnące w pęknięciach w skałach oraz wzory rozbłyskowe znane jako figury Lichtenberga. Krystalizatory śniegu i niektóre kolonie bakterii również wykazują cechy podobne do DLA, choć ich wzrost jest kształtowany dodatkowo przez efekty takie jak napięcie powierzchniowe i anizotropowe sieci krystaliczne.

Symulacja z wykorzystaniem zasobów

launch walker on a circle just outside the cluster's current radius
while walker is alive:
  step = randomDirection() * stepSize
  walker.pos += step
  if distance(walker.pos, origin) > killRadius:
    discard walker; launch a new one          // wandered off, save time
  if any of 8 neighbours is occupied:
    if random() < stickProbability:
      occupy(walker.pos); grow cluster radius if needed
      break
    // else: bounce off and keep walking

Frequently asked questions

Dlaczego DLA rośnie w chude gałęzie zamiast solidnego dysku?

Wynika to z efektu przesiewania: końce zewnętrzne rosnącej grupy są pierwszymi, na które przypadkowo natrafia cząsteczka, dlatego przechwytują niemal wszystkie nowe przybywające, zanim cząsteczka może dotrzeć do głębokich, wypukłych szczelin między gałęziami. Gdy jeden z końców lekko wyprzedza sąsiadów, pochłania niezbyt dużą część nowych cząstek, co przyspiesza jego wzrost, stanowiący niestabilny, wzmacniający się samoczynnie proces typowy dla wzrostu laplasowego.

Co kontroluje parametr lepkości?

Ustawia on prawdopodobieństwo, że pędzący cząsteczka przykleja się po raz pierwszy, gdy styknie zajętą sąsiadującą cząsteczkę. Przy prawdopodobieństwie 1 cząsteczki przyklejają się natychmiast po kontakcie, co wzmacnia efekt przesiewania i generuje bardzo otwarte, rzadkie dendryty. Obniżając go, cząsteczka może przelecieć powierzchnią kilka razy przed przyklejeniem, dając jej więcej szans na dotarcie do szczelin, które wypełniają grupę i produkują gęstsze, mniej rozgałęzione struktury.

Czy agregacja ograniczona dyfuzją rzeczywiście występuje w rzeczywistych materiałach?

Tak. Elektrodepozytowane metale (miedź lub cynk rosnące na elektrodzie), fingering lepki, gdy niskowiskowa ciecz jest wprowadzana do cieczy o większej lepkości w komorze Hele-Shaw, dendryty minerałów w skałach oraz figury Lichtenberga – wszystkie wykazują tę samą rozgałęzioną, samo-podobiejszą geometrię, ponieważ w każdym przypadku wzrost jest ograniczony przez szybkość, z jaką rozprzestrzenia się dana ilość – jony, ciecz lub ładunek – do czoła rosnącego obszaru.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Diffusion-Limited Aggregation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Diffusion-Limited Aggregation

Agregacja Ograniczona Dążnością: Jak Losowe Ruchy Budują Fraktale